初中数学解答题

如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y＝k_{1}x+b（k_1\ne 0）$的图象与反比例函数 $y=\frac{{\mathrm{k}}_2}{\mathrm{x}}（k_2\ne 0）$的图象相交于 $A（3，4），B（﹣4，m）$两点．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）若点 $D$在 $x$轴上，位于原点右侧，且 $OA＝OD$，求 $△AOD$的面积．

已知关于 $x，y$的方程组 $\left\{\begin{array}{c}2x+3y=3m+7，\\ x-y=4m+1\end{array}\right.$的解 $x$和 $y$都是正数，求 $m$的取值范围后，再化简 $\left|m-1\right|+\left|m+\frac{2}{3}\right|$．

2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和冬残奥会吉祥物雪容融深受大家喜爱．已知购买 $1$个冰墩墩毛绒玩具和 $2$个雪容融毛绒玩具用了 $400$元，购买 $3$个冰墩墩毛绒玩具和 $4$个雪容融毛绒玩具用了 $1000$元．这两种毛绒玩具的单价各是多少元？

一玩具工厂用于生产的全部劳动力为 $450$个工时，原料为 $400$个单位，生产一个小熊要使用 $15$个工时， $20$个单位的原料，售价为 $80$元；生产一个小猫要使用 $10$个工时， $5$个单位的原料，售价为 $45$元．在劳力和原料的限制下合理安排生产小熊、小猫的个数，可以使小熊和小猫的总售价尽可能高．请用你学过的数学知识分析，总售价是否可能达到 $2200$元？

习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知 $1$件甲种农机具比 $1$件乙种农机具多 $1$万元，用 $15$万元购买甲种农机具的数量和用 $10$万元购买乙种农机具的数量相同．

（1）求购买 $1$件甲种农机具和 $1$件乙种农机具各需多少万元？

（2）若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共 $20$件，且购买的总费用不超过 $46$万元，则甲种农机具最多能购买多少件？

某公司为了扩大经营，决定购买 $6$台机器用于生产活塞．现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器的日产量如下表所示．经过预算，本次购买机器所需的资金不能超过 $34$万元．

（1）按该公司的要求，可以有几种购买方案？

（2）若该公司购进的 $6$台机器的日生产能力不能低于 $380$个，为了节约资金，应选择哪种购买方案？

2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站．如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态．当两臂 $AC＝BC＝10m$，两臂夹角 $\angle ACB＝100°$时，求 $A，B$两点间的距离．（结果精确到 $0.1m$，参考数据： $\sin 50°\approx 0.766，\cos 50°\approx 0.643，\tan 50°\approx 1.192$）

一般地，对于任意的实数 $x$，可记 $x=\left[x\right]+\left\{x\right\}$，其中符号 $\left[x\right]$叫做 $x$的整数部分，表示不大于 $x$的整数（例如 $\left[3\right]=3$， $\left[3．14\right]=3$， $\left[-3．14\right]=-4$）；符号 $\left\{x\right\}$叫做 $x$的小数部分，即 $0⩽\left\{x\right\}<1$（例如 $\left\{3.14\right\}=0.14$， $\left\{-3.14\right\}=0.86$）．试求出所有的 $x$，使得 $13x+5\left[x\right]=100$．

解方程组： $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}-\mathrm{y}=2\mathrm{①}\\ 2\mathrm{x}+\mathrm{y}=7\mathrm{②}\end{array}\right.$．

在 $Rt△ABC$中， $M$是斜边 $AB$的中点，将线段 $MA$绕点 $M$旋转至 $MD$位置，点 $D$在直线 $AB$外，连接 $AD，BD$．

（1）如图1，求 $\angle ADB$的大小；

（2）已知点 $D$和边 $AC$上的点 $E$满足 $ME\perp AD，DE\parallel AB$．

（i）如图2，连接 $CD$，求证： $BD＝CD$；

（ii）如图3，连接 $BE$，若 $AC＝8，BC＝6$，求 $\tan \angle ABE$的值．

已知四边形 $ABCD$内接于 $\odot O$，对角线 $BD$是 $\odot O$的直径．

（1）如图1，连接 $OA，CA$，若 $OA\perp BD$，求证： $CA$平分 $\angle BCD$；

（2）如图2， $E$为 $\odot O$内一点，满足 $AE\perp BC，CE\perp AB$．若 $BD＝3\sqrt{3}$， $AE＝3$，求弦 $BC$的长．

先化简，再求值： $\frac{x^2+2x+1}{x+1}$，其中 $x＝\sqrt{2}-1$．

如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向， $AC＝200米$．点E在点A的正北方向．点B，D在点C的正北方向， $BD＝100米$．点B在点A的北偏东30°，点D在点E的北偏东45°．

（1）求步道DE的长度（精确到个位）；

（2）点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D．请计算说明他走哪一条路较近？

（参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.414$， $\sqrt{3}\approx 1.732$）

为了加强心理健康教育，某校组织七年级（1）（2）两班学生进行了心理健康常识测试（分数为整数，满分为 $10$分），已知两班学生人数相同，根据测试成绩绘制了如下所示的统计图．

（1）求（2）班学生中测试成绩为 $10$分的人数；

（2）请确定下表中 $a，b，c$的值（只要求写出求 $a$的计算过程）；

统计量	平均数	众数	中位数	方差
（1）班	8	8	c	1.16
（2）班	a	b	8	1.56

（3）从上表中选择合适的统计量，说明哪个班的成绩更均匀．

如图，已知 $D$为 $\odot O$上一点，点 $C$在直径 $BA$的延长线上， $BE$与 $\odot O$相切，交 $CD$的延长线于点 $E$，且 $BE＝DE$．

（1）判断 $CD$与 $\odot O$的位置关系，并说明理由；

（2）若 $AC＝4$， $\sin C=\frac{1}{3}$，

①求 $\odot O$的半径；

②求 $BD$的长．