初中数学解答题

2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站．如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态．当两臂 $AC＝BC＝10m$，两臂夹角 $\angle ACB＝100°$时，求 $A，B$两点间的距离．（结果精确到 $0.1m$，参考数据： $\sin 50°\approx 0.766，\cos 50°\approx 0.643，\tan 50°\approx 1.192$）

解方程组： $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}-\mathrm{y}=2\mathrm{①}\\ 2\mathrm{x}+\mathrm{y}=7\mathrm{②}\end{array}\right.$．

为了解某初级中学落实《中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的实施情况，调查组从该校全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周劳动时间 $t$（单位： $h$），并对数据进行整理、描述和分析．以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．

平均每周劳动时间频数统计表

平均每周劳动时间 $t/h$	频数	频率
$1\le t＜2$	$3$
$2\le t＜3$	$a$	$0.12$
$3\le t＜4$	$37$	$b$
$4\le t＜5$		$0.35$
$5\le t＜6$
合计	$c$

根据以上信息，回答下列问题：

（1）填空： $a＝$＿＿＿＿＿， $b=$＿＿＿＿＿， $c＝$＿＿＿＿＿；

（2）若该校有 $1000$名学生，请估计平均每周劳动时间在 $3\le t＜5$范围内的学生人数．

为实施“乡村振兴”计划，某村产业合作社种植了“千亩桃园”．2022年该村桃子丰收，销售前对本地市场进行调查发现：当批发价为 $4$千元/吨时，每天可售出 $12$吨，每吨涨 $1$千元，每天销量将减少 $2$吨，据测算，每吨平均投入成本 $2$千元，为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价每吨不低于 $4$千元，不高于 $5.5$千元．请解答以下问题：

（1）求每天销量 $y$（吨）与批发价 $x$（千元/吨）之间的函数关系式，并直接写出自变量 $x$的取值范围；

（2）当批发价定为多少时，每天所获利润最大？最大利润是多少？

根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨 $10\%$，乙地降价 $5$元．已知销售单价调整前甲地比乙地少 $10$元，调整后甲地比乙地少 $1$元，求调整前甲、乙两地该商品的销售单价．

为了测量高速公路某桥的桥墩高度，某数学兴趣小组在同一水平地面 $C、D$两处实地测量，如图所示．在 $C$处测得桥墩顶部 $A$处的仰角为 $60°$和桥墩底部 $B$处的俯角为 $40°$，在 $D$处测得桥墩顶部 $A$处的仰角为 $30°$，测得 $C、D$两点之间的距离为 $80m$，直线 $AB、CD$在同一平面内，请你用以上数据，计算桥墩 $AB$的高度．（结果保留整数，参考数据： $\sin 40°\approx 0.64，\cos 40°\approx 0.77，\tan 40°\approx 0.84$， $\sqrt{3}\approx 1.73$）

如图，在平面直角坐标系 $xOy$中，抛物线 $E：y＝﹣（x﹣m{）}^2+2m^2（m＜0）$的顶点 $P$在抛物线 $F：y＝a{x}^2$上，直线 $x＝t$与抛物线 $E，F$分别交于点 $A，B$．

（1）求 $a$的值；

（2）将 $A，B$的纵坐标分别记为 $y_A，y_B$，设 $s＝y_A﹣y_B$，若 $s$的最大值为 $4$，则 $m$的值是多少？

（3） $Q$是 $x$轴的正半轴上一点，且 $PQ$的中点 $M$恰好在抛物线 $F$上．试探究：此时无论 $m$为何负值，在 $y$轴的负半轴上是否存在定点 $G$，使 $\angle PQG$总为直角？若存在，请求出点 $G$的坐标；若不存在，请说明理由．

2021年7月，中共中央办公厅，国务院办公厅印发了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》．某中学为了切实减轻学生作业负担，落实课后服务相关要求，开设了书法、摄影、篮球、足球、乒乓球五项课后服务活动，为了解学生的个性化需求，学校随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图，请你根据给出的信息解答下列问题：

（1）求 $m，n$的值并把条形统计图补充完整；

（2）若该校有 $2000$名学生，试估计该校参加“书法”活动的学生有多少人？

（3）结合调查信息，请你给该校课后服务活动项目开设方面提出一条合理化的建议．

（1）计算： $\sqrt[3]{8}+|﹣5|+（﹣1{）}^{2023}$．

（2）已知一次函数 $y＝kx+b$的图象经过点 $（0，1）$与点 $（2，5）$，求该一次函数的表达式．

如图， $C$是圆 $O$被直径 $AB$分成的半圆上一点，过点 $C$的圆 $O$的切线交 $AB$的延长线于点 $P$，连接 $CA，CO，CB$．

（1）求证： $\angle ACO＝\angle BCP$；

（2）若 $\angle ABC＝2\angle BCP$，求 $\angle P$的度数；

（3）在（2）的条件下，若 $AB＝4$，求图中阴影部分的面积（结果保留 $\pi$和根号）．

在 $Rt△ABC$中， $M$是斜边 $AB$的中点，将线段 $MA$绕点 $M$旋转至 $MD$位置，点 $D$在直线 $AB$外，连接 $AD，BD$．

（1）如图1，求 $\angle ADB$的大小；

（2）已知点 $D$和边 $AC$上的点 $E$满足 $ME\perp AD，DE\parallel AB$．

（i）如图2，连接 $CD$，求证： $BD＝CD$；

（ii）如图3，连接 $BE$，若 $AC＝8，BC＝6$，求 $\tan \angle ABE$的值．

已知四边形 $ABCD$内接于 $\odot O$，对角线 $BD$是 $\odot O$的直径．

（1）如图1，连接 $OA，CA$，若 $OA\perp BD$，求证： $CA$平分 $\angle BCD$；

（2）如图2， $E$为 $\odot O$内一点，满足 $AE\perp BC，CE\perp AB$．若 $BD＝3\sqrt{3}$， $AE＝3$，求弦 $BC$的长．

先化简，再求值： $\frac{x^2+2x+1}{x+1}$，其中 $x＝\sqrt{2}-1$．

如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向， $AC＝200米$．点E在点A的正北方向．点B，D在点C的正北方向， $BD＝100米$．点B在点A的北偏东30°，点D在点E的北偏东45°．

（1）求步道DE的长度（精确到个位）；

（2）点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D．请计算说明他走哪一条路较近？

（参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.414$， $\sqrt{3}\approx 1.732$）

为了加强心理健康教育，某校组织七年级（1）（2）两班学生进行了心理健康常识测试（分数为整数，满分为 $10$分），已知两班学生人数相同，根据测试成绩绘制了如下所示的统计图．

（1）求（2）班学生中测试成绩为 $10$分的人数；

（2）请确定下表中 $a，b，c$的值（只要求写出求 $a$的计算过程）；

统计量	平均数	众数	中位数	方差
（1）班	8	8	c	1.16
（2）班	a	b	8	1.56

（3）从上表中选择合适的统计量，说明哪个班的成绩更均匀．