如图，在平面直角坐标系 $xOy$中，抛物线 $E：y＝﹣（x﹣m{）}^2+2m^2（m＜0）$的顶点 $P$在抛物线 $F：y＝a{x}^2$上，直线 $x＝t$与抛物线 $E，F$分别交于点 $A，B$．

（1）求 $a$的值；

（2）将 $A，B$的纵坐标分别记为 $y_A，y_B$，设 $s＝y_A﹣y_B$，若 $s$的最大值为 $4$，则 $m$的值是多少？

（3） $Q$是 $x$轴的正半轴上一点，且 $PQ$的中点 $M$恰好在抛物线 $F$上．试探究：此时无论 $m$为何负值，在 $y$轴的负半轴上是否存在定点 $G$，使 $\angle PQG$总为直角？若存在，请求出点 $G$的坐标；若不存在，请说明理由．