如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的

更新 2023-11-23
科目数学
题型解答题
难度中等
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如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向， $A C ＝ 200 米$ ．点E在点A的正北方向．点B，D在点C的正北方向， $B D ＝ 100 米$ ．点B在点A的北偏东30°，点D在点E的北偏东45°．

（1）求步道DE的长度（精确到个位）；

（2）点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D．请计算说明他走哪一条路较近？

（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）

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如图，点 $D$ 在 $AB$ 上，点 $E$ 在 $AC$ 上， $AB = AC$ ， $∠ B = ∠ C$ ，求证： $BD = CE$ ．

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计算： ${(\frac{2021}{π})}^{0} + {(\frac{1}{4})}^{- 1} - (- 4) + 2 \sqrt{3} \cos 30 °$ ．

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如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴交于 $C$ 点， $AC = \sqrt{10}$ ， $OB = OC = 3 OA$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在第二象限内的抛物线上确定一点 $P$ ，使四边形 $PBAC$ 的面积最大，求出点 $P$ 的坐标；

（3）在（2）的结论下，点 $M$ 为 $x$ 轴上一动点，抛物线上是否存在一点 $Q$ ，使点 $P$ 、 $B$ 、 $M$ 、 $Q$ 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出 $Q$ 点的坐标；若不存在，请说明理由．

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如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $AE$ 平分 $∠ BAC$ 交 $BC$ 于点 $E$ ，点 $D$ 在 $AB$ 上， $DE ⊥ AE$ ， $⊙ O$ 是 $Rt Δ ADE$ 的外接圆，交 $AC$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $BC$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $⊙ O$ 的半径为5， $AC = 8$ ，求 $S_{ΔBDE}$ ．

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如图， $ΔAOB$ 中， $∠ ABO = 90 °$ ，边 $OB$ 在 $x$ 轴上，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过斜边 $OA$ 的中点 $M$ ，与 $AB$ 相交于点 $N$ ， $S_{ΔAOB} = 12$ ， $AN = \frac{9}{2}$ ．

（1）求 $k$ 的值；

（2）求直线 $MN$ 的解析式．

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