（1）计算：83|﹣5|（﹣1）2023．（2）已知一次函数

更新 2024-04-01
科目数学
题型解答题
难度中等
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（1）计算： $\sqrt[3]{8} + | ﹣ 5 | + （ ﹣ 1 ）^{2023}$ ．

（2）已知一次函数 $y ＝ k x + b$ 的图象经过点 $（ 0 ， 1 ）$ 与点 $（ 2 ， 5 ）$ ，求该一次函数的表达式．

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如图1，四边形 $OABC$ 是矩形，点 $A$ 的坐标为 $(3, 0)$ ，点 $C$ 的坐标为 $(0, 6)$ ，点 $P$ 从点 $O$ 出发，沿 $OA$ 以每秒1个单位长度的速度向点 $A$ 运动，同时点 $Q$ 从点 $A$ 出发，沿 $AB$ 以每秒2个单位长度的速度向点 $B$ 运动，当点 $P$ 与点 $A$ 重合时运动停止．设运动时间为 $t$ 秒．

（1）当 $t = 2$ 时，线段 $PQ$ 的中点坐标为　　；

（2）当 $ΔCBQ$ 与 $ΔPAQ$ 相似时，求 $t$ 的值；

（3）当 $t = 1$ 时，抛物线 $y = x^{2} + bx + c$ 经过 $P$ ， $Q$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $M$ ，抛物线的顶点为 $K$ ，如图2所示，问该抛物线上是否存在点 $D$ ，使 $∠ MQD = \frac{1}{2} ∠ MKQ$ ？若存在，求出所有满足条件的 $D$ 的坐标；若不存在，说明理由．

题型：未知
难度：未知

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问题呈现

如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点 $D$ ， $N$ 和 $E$ ， $C$ ， $DN$ 和 $EC$ 相交于点 $P$ ，求 $\tan ∠ CPN$ 的值．

方法归纳

求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形．观察发现问题中 $∠ CPN$ 不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点 $M$ ， $N$ ，可得 $MN / / EC$ ，则 $∠ DNM = ∠ CPN$ ，连接 $DM$ ，那么 $∠ CPN$ 就变换到 $Rt Δ DMN$ 中．