如图， $C$是圆 $O$被直径 $AB$分成的半圆上一点，过点 $C$的圆 $O$的切线交 $AB$的延长线于点 $P$，连接 $CA，CO，CB$．

（1）求证： $\angle ACO＝\angle BCP$；

（2）若 $\angle ABC＝2\angle BCP$，求 $\angle P$的度数；

（3）在（2）的条件下，若 $AB＝4$，求图中阴影部分的面积（结果保留 $\pi$和根号）．