初中数学解答题

在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从A地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．

（1）若乙先骑行2千米，甲才开始从A地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；

（2）若乙先骑行20分钟，甲才开始从A地出发，则甲、乙恰好同时到达B地，求甲骑行的速度．

如图， $AB$是 $\odot O$的直径，点 $C$是圆上的一点， $CD\perp AD$于点 $D$， $AD$交 $\odot O$于点 $F$，连接 $AC$，若 $AC$平分 $\angle DAB$，过点 $F$作 $FG\perp AB$于点 $G$交 $AC$于点 $H$．

（1）求证： $CD$是 $\odot O$的切线；

（2）延长 $AB$和 $DC$交于点 $E$，若 $AE＝4BE$，求 $\cos \angle DAB$的值；

（3）在（2）的条件下，求 $\frac{\mathrm{FH}}{\mathrm{AF}}$的值．

计算： $（-2022{）}^0+6\times （-\frac{1}{2}）$ $+\sqrt{8}÷\sqrt{2}$．

某校将举办的“壮乡三月三”民族运动会中共有四个项目：A跳长绳，B抛绣球，C拔河，D跳竹竿舞．该校学生会围绕“你最喜欢的项目是什么？”在全校学生中进行随机抽样调查（四个选项中必选且只选一项），根据调查统计结果，绘制了如下两种不完整的统计图表：

项目	内容	百分比
A	跳长绳	$25\%$
B	抛绣球	$35\%$
C	拔河	$30\%$
D	跳竹竿舞	$a$

请结合统计图表，回答下列问题：

（1）填空： $a＝$＿＿＿＿＿；

（2）本次调查的学生总人数是多少？

（3）请将条形统计图补充完整；

（4）李红同学准备从抛绣球和跳竹竿舞两个项目中选择一项参加，但她拿不定主意，请你结合调查统计结果给她一些合理化建议进行选择．

综合探究

如图1，在矩形 $ABCD$中（ $AB＞AD$），对角线 $AC，BD$相交于点 $O$，点 $A$关于 $BD$的对称点为 $A\prime$．连接 $AA\prime$交 $BD$于点 $E$，连接 $CA\prime$．

（1）求证： $AA`\perp CA`$；

（2）以点 $O$为圆心， $OE$为半径作圆．

①如图2， $\odot O$与 $CD$相切，求证： $AA`=\sqrt{3}CA`$；

②如图3， $\odot O$与 $CA\prime$相切， $AD＝1$，求 $\odot O$的面积．

如图，在平面直角坐标系中，形如英文字母“ $V$”的图形三个端点的坐标分别是 $A（2，3），B（1，0），C（0，3）$．

（1）画出“ $V$”字图形向左平移 $2$个单位后的图形；

（2）画出原“ $V$”字图形关于x轴对称的图形；

（3）所得图形与原图形结合起来，你能从中看出什么英文字母？（任意答一个即可）

因疫情防控需要，一辆货车先从甲地出发运送防疫物资到乙地，稍后一辆轿车从甲地急送防疫专家到乙地．已知甲、乙两地的路程是 $330km$，货车行驶时的速度是 $60km/h$．两车离甲地的路程 $s（km）$与时间 $t（h）$的函数图象如图．

（1）求出 $a$的值；

（2）求轿车离甲地的路程 $s（km）$与时间 $t（h）$的函数表达式；

（3）问轿车比货车早多少时间到达乙地？

计算： $\tan 45°﹣3^{﹣1}$．

公司生产A、B两种型号的扫地机器人，为了解它们的扫地质量，工作人员从某月生产的A、B型扫地机器人中各随机抽取10台，在完全相同条件下试验，记录下它们的除尘量的数据（单位：g），并进行整理、描述和分析（除尘量用 $x$表示，共分为三个等级：合格 $80\le x＜85$，良好 $85\le x＜95$，优秀 $x\ge 95$），下面给出了部分信息：

10台A型扫地机器人的除尘量：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98．

10台B型扫地机器人中“良好”等级包含的所有数据为：85，90，90，90，94

抽取的A、B型扫地机器人除尘量统计表

型号	平均数	中位数	众数	方差	“优秀”等级所占百分比
A	90	89	a	26.6	40%
B	90	b	90	30	30%

根据以上信息，解答下列问题：

（1）填空：a＝　 　，b＝　 　，m＝　 　；

（2）这个月公司可生产B型扫地机器人共3000台，估计该月B型扫地机器人“优秀”等级的台数；

（3）根据以上数据，你认为该公司生产的哪种型号的扫地机器人扫地质量更好？请说明理由（写出一条理由即可）．

在 $Rt△ABC$中， $M$是斜边 $AB$的中点，将线段 $MA$绕点 $M$旋转至 $MD$位置，点 $D$在直线 $AB$外，连接 $AD，BD$．

（1）如图1，求 $\angle ADB$的大小；

（2）已知点 $D$和边 $AC$上的点 $E$满足 $ME\perp AD，DE\parallel AB$．

（i）如图2，连接 $CD$，求证： $BD＝CD$；

（ii）如图3，连接 $BE$，若 $AC＝8，BC＝6$，求 $\tan \angle ABE$的值．

已知四边形 $ABCD$内接于 $\odot O$，对角线 $BD$是 $\odot O$的直径．

（1）如图1，连接 $OA，CA$，若 $OA\perp BD$，求证： $CA$平分 $\angle BCD$；

（2）如图2， $E$为 $\odot O$内一点，满足 $AE\perp BC，CE\perp AB$．若 $BD＝3\sqrt{3}$， $AE＝3$，求弦 $BC$的长．

先化简，再求值： $\frac{x^2+2x+1}{x+1}$，其中 $x＝\sqrt{2}-1$．

如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向， $AC＝200米$．点E在点A的正北方向．点B，D在点C的正北方向， $BD＝100米$．点B在点A的北偏东30°，点D在点E的北偏东45°．

（1）求步道DE的长度（精确到个位）；

（2）点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D．请计算说明他走哪一条路较近？

（参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.414$， $\sqrt{3}\approx 1.732$）

为了加强心理健康教育，某校组织七年级（1）（2）两班学生进行了心理健康常识测试（分数为整数，满分为 $10$分），已知两班学生人数相同，根据测试成绩绘制了如下所示的统计图．

（1）求（2）班学生中测试成绩为 $10$分的人数；

（2）请确定下表中 $a，b，c$的值（只要求写出求 $a$的计算过程）；

统计量	平均数	众数	中位数	方差
（1）班	8	8	c	1.16
（2）班	a	b	8	1.56

（3）从上表中选择合适的统计量，说明哪个班的成绩更均匀．

如图，已知 $D$为 $\odot O$上一点，点 $C$在直径 $BA$的延长线上， $BE$与 $\odot O$相切，交 $CD$的延长线于点 $E$，且 $BE＝DE$．

（1）判断 $CD$与 $\odot O$的位置关系，并说明理由；

（2）若 $AC＝4$， $\sin C=\frac{1}{3}$，

①求 $\odot O$的半径；

②求 $BD$的长．