如图，在平面直角坐标系中，形如英文字母V的图形三个端点的坐标

更新 2023-06-07
科目数学
题型解答题
难度中等
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如图，在平面直角坐标系中，形如英文字母“ $V$ ”的图形三个端点的坐标分别是 $A （ 2 ， 3 ）， B （ 1 ， 0 ）， C （ 0 ， 3 ）$ ．

（1）画出“ $V$ ”字图形向左平移 $2$ 个单位后的图形；

（2）画出原“ $V$ ”字图形关于x轴对称的图形；

（3）所得图形与原图形结合起来，你能从中看出什么英文字母？（任意答一个即可）

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已知抛物线 $y = a x^{2} + bx + 3$ 经过点 $A (1, 0)$ 和点 $B (- 3, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $P$ 为第二象限内抛物线上的动点．

（1）抛物线的解析式为　　，抛物线的顶点坐标为　　；

（2）如图1，连接 $OP$ 交 $BC$ 于点 $D$ ，当 $S_{ΔCPD} : S_{ΔBPD} = 1 : 2$ 时，请求出点 $D$ 的坐标；

（3）如图2，点 $E$ 的坐标为 $(0, - 1)$ ，点 $G$ 为 $x$ 轴负半轴上的一点， $∠ OGE = 15 °$ ，连接 $PE$ ，若 $∠ PEG = 2 ∠ OGE$ ，请求出点 $P$ 的坐标；

（4）如图3，是否存在点 $P$ ，使四边形 $BOCP$ 的面积为8？若存在，请求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下：

对于三个实数 $a$ ， $b$ ， $c$ ，用 $M {a$ ， $b$ ， $c}$ 表示这三个数的平均数，用 $\min {a$ ， $b$ ， $c}$ 表示这三个数中最小的数，例如 $M {1$ ，2， $9} = \frac{1 + 2 + 9}{3} = 4$ ， $\min {1$ ，2， $- 3} = - 3$ ， $\min (3$ ，1， $1} = 1$ ．请结合上述材料，解决下列问题：

（1）① $M {{(- 2)}^{2}$ ， $2^{2}$ ， $- 2^{2}} =$ 　；

② $\min {\sin 30 °$ ， $\cos 60 °$ ， $\tan 45 °} =$ 　　；

（2）若 $\min (3 - 2 x$ ， $1 + 3 x$ ， $- 5} = - 5$ ，则 $x$ 的取值范围为　　；

（3）若 $M {- 2 x$ ， $x^{2}$ ， $3} = 2$ ，求 $x$ 的值；

（4）如果 $M {2$ ， $1 + x$ ， $2 x} = \min {2$ ， $1 + x$ ， $2 x}$ ，求 $x$ 的值．

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$x$ （元 $)$	15	20	30	$\dots$
$y$ （袋 $)$	25	20	10	$\dots$

若日销售量 $y$ 是销售价 $x$ 的一次函数，试求：

（1）日销售量 $y$ （袋 $)$ 与销售价 $x$ （元 $)$ 的函数关系式；

（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？

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某地区在所有中学开展《老师，我想对你说》心灵信箱活动，为师生之间的沟通增设了一个书面交流的渠道．为了解两年来活动开展的情况，某课题组从全地区随机抽取部分中学生进行问卷调查．对“两年来，你通过心灵信箱给老师总共投递过几封信？”这一调查项设有四个回答选项，选项 $A$ ：没有投过；选项 $B$ ：一封；选项 $C$ ：两封；选项 $D$ ：三封及以上．根据接受问卷调查学生的回答，统计出各选项的人数以及所占百分比，分别绘制成如下条形统计图和扇形统计图：

（1）此次抽样调查了　　名学生，条形统计图中 $m =$ 　　， $n =$ 　　；

（2）请将条形统计图补全；

（3）接受问卷调查的学生在活动中投出的信件总数至少有　　封；

（4）全地区中学生共有110000名，由此次调查估算，在此项活动中，全地区给老师投过信件的学生约有多少名？

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如图，点 $P$ 在 $⊙ O$ 外， $PC$ 是 $⊙ O$ 的切线， $C$ 为切点，直线 $PO$ 与 $⊙ O$ 相交于点 $A$ 、 $B$ ．

（1）若 $∠ A = 30 °$ ，求证： $PA = 3 PB$ ；

（2）小明发现， $∠ A$ 在一定范围内变化时，始终有 $∠ BCP = \frac{1}{2} (90 ° - ∠ P)$ 成立．请你写出推理过程．

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