初中数学解直角三角形的应用-仰角俯角问题解答题

如图，在某信号塔 $\mathit{AB}$的正前方有一斜坡 $\mathit{CD}$，坡角 $\angle \mathit{CDK}=30°$，斜坡的顶端 $C$与塔底 $B$的距离 $\mathit{BC}=8$米，小明在斜坡上的点 $E$处测得塔顶 $A$的仰角 $\angle \mathit{AEN}=60°$， $\mathit{CE}=4$米，且 $\mathit{BC}//\mathit{NE}//\mathit{KD}$， $\mathit{AB}\perp \mathit{BC}$（点 $A$， $B$， $C$， $D$， $E$， $K$， $N$在同一平面内）．

（1）填空： $\angle \mathit{BCD}=$　　度， $\angle \mathit{AEC}=$　　度；

（2）求信号塔的高度 $\mathit{AB}$（结果保留根号）．

乡村振兴使人民有更舒适的居住条件，更优美的生活环境，如图是怡佳新村中的两栋居民楼，小明在甲居民楼的楼顶 $D$处观测乙居民楼楼底 $B$处的俯角是 $30°$，观测乙居民楼楼顶 $C$处的仰角为 $15°$，已知甲居民楼的高为 $10m$，求乙居民楼的高．（参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.414$， $\sqrt{3}\approx 1.732$，结果精确到 $0.1m)$

如图，建筑物 $\mathit{BC}$上有一旗杆 $\mathit{AB}$，从与 $\mathit{BC}$相距 $20m$的 $D$处观测旗杆顶部 $A$的仰角为 $52°$，观测旗杆底部 $B$的仰角为 $45°$，求旗杆 $\mathit{AB}$的高度（结果保留小数点后一位．参考数据： $\sin 52°\approx 0.79$， $\cos 52°\approx 0.62$， $\tan 52°\approx 1.28$， $\sqrt{2}\approx 1.41)$．

随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小星利用无人机来测量广场 $B$， $C$两点之间的距离．如图所示，小星站在广场的 $B$处遥控无人机，无人机在 $A$处距离地面的飞行高度是 $41.6m$，此时从无人机测得广场 $C$处的俯角为 $63°$，他抬头仰视无人机时，仰角为 $\alpha$，若小星的身高 $\mathit{BE}=1.6m$， $\mathit{EA}=50m$（点 $A$， $E$， $B$， $C$在同一平面内）．

（1）求仰角 $\alpha$的正弦值；

（2）求 $B$， $C$两点之间的距离（结果精确到 $1m)$．

$(\sin 63°\approx 0.89$， $\cos 63°\approx 0.45$， $\tan 63°\approx 1.96$， $\sin 27°\approx 0.45$， $\cos 27°\approx 0.89$， $\tan 27°\approx 0.51)$

开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中最大的佛像．某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度．如图，他们选取的测量点 $A$与佛像 $\mathit{BD}$的底部 $D$在同一水平线上．已知佛像头部 $\mathit{BC}$为 $4m$，在 $A$处测得佛像头顶部 $B$的仰角为 $45°$，头底部 $C$的仰角为 $37.5°$，求佛像 $\mathit{BD}$的高度（结果精确到 $0.1m$．参考数据： $\sin 37.5°\approx 0.61$， $\cos 37.5°\approx 0.79$， $\tan 37.5°\approx 0.77)$．

如图1，某超市从底楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图．已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13米，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，BC⊥MN，在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为42°，求二楼的层高BC（精确到0.1米）．
（参考数据：sin42°≈0．67，cos42°≈0．74，tan42°≈0．90）

如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度（结果精确到0．1m）．（参考数据：≈1．414，≈1．732）

2020年7月23日，我国首次火星探测"天问一号"探测器，由长征五号遥四运载火箭在中国文昌航天发射场发射成功，正式开启了中国的火星探测之旅．运载火箭从地面 $O$ 处发射，当火箭到达点 $A$ 时，地面 $D$ 处的雷达站测得 $\mathit{AD}=4000$ 米，仰角为 $30°.3$ 秒后，火箭直线上升到达点 $B$ 处，此时地面 $C$ 处的雷达站测得 $B$ 处的仰角为 $45°$ ． $O$ ， $C$ ， $D$ 在同一直线上，已知 $C$ ， $D$ 两处相距460米，求火箭从 $A$ 到 $B$ 处的平均速度．（结果精确到1米，参考数据： $\sqrt{3}\approx 1.732$ ， $\sqrt{2}\approx 1.414)$

全国历史文化名城宜宾有许多名胜古迹，始建于明朝的白塔是其中之一．如图，为了测量白塔的高度 $\mathit{AB}$，在 $C$处测得塔顶 $A$的仰角为 $45°$，再向白塔方向前进15米到达 $D$处，又测得塔顶 $A$的仰角为 $60°$，点 $B$、 $D$、 $C$在同一水平线上，求白塔的高度 $\mathit{AB}$． $(\sqrt{3}\approx 1.7$，精确到1米）

在一次测量物体高度的数学实践活动中，小明从一条笔直公路上选择三盏高度相同的路灯进行测量．如图，他先在点 $B$ 处安置测倾器，于点 $A$ 处测得路灯 $\mathit{MN}$ 顶端的仰角为 $10°$ ，再沿 $\mathit{BN}$ 方向前进10米，到达点 $D$ 处，于点 $C$ 处测得路灯 $\mathit{PQ}$ 顶端的仰角为 $27°$ ．若测倾器的高度为1.2米，每相邻两根灯柱之间的距离相等，求路灯的高度（结果精确到0.1米）．

（参考数据： $\sin 10°\approx 0.17$ ， $\cos 10°\approx 0.98$ ， $\tan 10°\approx 0.18$ ， $\sin 27°=0.45$ ， $\cos 27°\approx 0.89$ ， $\tan 27°\approx 0.51)$

如图，某地政府为解决当地农户网络销售农特产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道 $\mathit{AB}$ ．无人机从点 $A$ 的正上方点 $C$ ，沿正东方向以 $8m/s$ 的速度飞行 $15s$ 到达点 $D$ ，测得 $A$ 的俯角为 $60°$ ，然后以同样的速度沿正东方向又飞行 $50s$ 到达点 $E$ ，测得点 $B$ 的俯角为 $37°$ ．

（1）求无人机的高度 $\mathit{AC}$ （结果保留根号）；

（2）求 $\mathit{AB}$ 的长度（结果精确到 $1m)$ ．

（参考数据： $\sin 37°\approx 0.60$ ， $\cos 37°\approx 0.80$ ， $\tan 37°\approx 0.75$ ， $\sqrt{3}\approx 1.73)$

在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部 $B$ 处测得办公楼底部 $D$ 处的俯角是 $53°$ ，从综合楼底部 $A$ 处测得办公楼顶部 $C$ 处的仰角恰好是 $30°$ ，综合楼高24米．请你帮小明求出办公楼的高度．（结果精确到0.1，参考数据 $\tan 37°\approx 0.75$ ， $\tan 53°\approx 1.33$ ， $\sqrt{3}\approx 1.73)$

王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试根据所学知识测量河对岸大树 $\mathit{AB}$的高度，他在点 $C$处测得大树顶端 $A$的仰角为 $45°$，再从 $C$点出发沿斜坡走 $2\sqrt{10}$米到达斜坡上 $D$点，在点 $D$处测得树顶端 $A$的仰角为 $30°$，若斜坡 $\mathit{CF}$的坡比为 $i=1:3$（点 $E$、 $C$、 $B$在同一水平线上）．

（1）求王刚同学从点 $C$到点 $D$的过程中上升的高度；

（2）求大树 $\mathit{AB}$的高度（结果保留根号）．

一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点 $P$ 处测得正前方水平地面上某建筑物 $\mathit{AB}$ 的顶端 $A$ 的俯角为 $30°$ ，面向 $\mathit{AB}$ 方向继续飞行5米，测得该建筑物底端 $B$ 的俯角为 $45°$ ，已知建筑物 $\mathit{AB}$ 的高为3米，求无人机飞行的高度（结果精确到1米，参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.414$ ， $\sqrt{3}\approx 1.732)$ ．

张家界大峡谷玻璃桥是我市又一闻名中外的五星景点．某校初三年级在一次研学活动中，数学研学小组设计以下方案测量桥的高度．如图，在桥面正下方的谷底选一观测点 $A$ ，观测到桥面 $B$ ， $C$ 的仰角分别为 $30°$ ， $60°$ ，测得 $\mathit{BC}$ 长为320米，求观测点 $A$ 到桥面 $\mathit{BC}$ 的距离．（结果保留整数，参考数据： $\sqrt{3}\approx 1.73)$