在一次测量物体高度的数学实践活动中，小明从一条笔直公路上选择

更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度中等
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在一次测量物体高度的数学实践活动中，小明从一条笔直公路上选择三盏高度相同的路灯进行测量．如图，他先在点 $B$ 处安置测倾器，于点 $A$ 处测得路灯 $MN$ 顶端的仰角为 $10 °$ ，再沿 $BN$ 方向前进10米，到达点 $D$ 处，于点 $C$ 处测得路灯 $PQ$ 顶端的仰角为 $27 °$ ．若测倾器的高度为1.2米，每相邻两根灯柱之间的距离相等，求路灯的高度（结果精确到0.1米）．

（参考数据： $\sin 10 ° \approx 0.17$ ， $\cos 10 ° \approx 0.98$ ， $\tan 10 ° \approx 0.18$ ， $\sin 27 ° = 0.45$ ， $\cos 27 ° \approx 0.89$ ， $\tan 27 ° \approx 0.51)$

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为了传承中华优秀传统文化，市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动，某校团委组织八年级100名学生进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表．

组别	分数段	频次	频率
$A$	$60 ⩽ x < 70$	17	0.17
$B$	$70 ⩽ x < 80$	30	$a$
$C$	$80 ⩽ x < 90$	$b$	0.45
$D$	$90 ⩽ x < 100$	8	0.08

请根据所给信息，解答以下问题：

（1）表中 $a =$ 　　， $b =$ 　　；

（2）请计算扇形统计图中 $B$ 组对应扇形的圆心角的度数；

（3）已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率．

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已知抛物线 $c_{1}$ 的顶点为 $A (- 1, 4)$ ，与 $y$ 轴的交点为 $D (0, 3)$ ．

（1）求 $c_{1}$ 的解析式；

（2）若直线 $l_{1} : y = x + m$ 与 $c_{1}$ 仅有唯一的交点，求 $m$ 的值；

（3）若抛物线 $c_{1}$ 关于 $y$ 轴对称的抛物线记作 $c_{2}$ ，平行于 $x$ 轴的直线记作 $l_{2} : y = n$ ．试结合图形回答：当 $n$ 为何值时， $l_{2}$ 与 $c_{1}$ 和 $c_{2}$ 共有：①两个交点；②三个交点；③四个交点；

（4）若 $c_{2}$ 与 $x$ 轴正半轴交点记作 $B$ ，试在 $x$ 轴上求点 $P$ ，使 $ΔPAB$ 为等腰三角形．

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为了丰富同学们的课余生活，某学校计划举行“亲近大自然”户外活动，现随机抽取了部分学生进行主题为“你最想去的景点是？”的问卷调查，要求学生必须从“ $A$ （洪家关）， $B$ （天门山）， $C$ （大峡谷）， $D$ （黄龙洞）”四个景点中选择一项，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．

请你根据图中所提供的信息，完成下列问题：

（1）本次调查的学生人数为　　；

（2）在扇形统计图中，“天门山”部分所占圆心角的度数为　　；

（3）请将两个统计图补充完整；

（4）若该校共有2000名学生，估计该校最想去大峡谷的学生人数为　　．

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在等腰 $ΔABC$ 中， $AC = BC$ ，以 $BC$ 为直径的 $⊙ O$ 分别与 $AB$ ， $AC$ 相交于点 $D$ ， $E$ ，过点 $D$ 作 $DF ⊥ AC$ ，垂足为点 $F$ ．

（1）求证： $DF$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）分别延长 $CB$ ， $FD$ ，相交于点 $G$ ， $∠ A = 60 °$ ， $⊙ O$ 的半径为6，求阴影部分的面积．

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