初中数学解直角三角形的应用-坡度坡角问题解答题

某居民楼紧挨一座山坡 $\mathit{AB}$，经过地质人员勘测，当坡度不超过 $45°$时，可以确保山体不滑坡，如图所示，已知 $\mathit{AE}//\mathit{BD}$，斜坡 $\mathit{AB}$的坡角 $\angle \mathit{ABD}=60°$，为防止滑坡，现对山坡进行改造，改造后，斜坡 $\mathit{BC}$与地面 $\mathit{BD}$成 $45°$角， $\mathit{AC}=20$米．求斜坡 $\mathit{BC}$的长是多少米？（结果精确到0.1米，参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.41$， $\sqrt{3}\approx 1.73)$

如图， $\mathit{BC}$是路边坡角为 $30°$，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆 $\mathit{CD}$的顶端 $D$处有一探射灯，射出的边缘光线 $\mathit{DA}$和 $\mathit{DB}$与水平路面 $\mathit{AB}$所成的夹角 $\angle \mathit{DAN}$和 $\angle \mathit{DBN}$分别是 $37°$和 $60°$（图中的点 $A$、 $B$、 $C$、 $D$、 $M$、 $N$均在同一平面内， $\mathit{CM}//\mathit{AN})$．

（1）求灯杆 $\mathit{CD}$的高度；

（2）求 $\mathit{AB}$的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据： $\sqrt{3}=1.73$． $\sin 37°\approx 0.60$， $\cos 37°\approx 0.80$， $\tan 37°\approx 0.75)$

如图1，水坝的横截面是梯形 $\mathit{ABCD}$， $\angle \mathit{ABC}=37°$，坝顶 $\mathit{DC}=3m$，背水坡 $\mathit{AD}$的坡度 $i$（即 $\tan \angle \mathit{DAB})$为 $1:0.5$，坝底 $\mathit{AB}=14m$．

（1）求坝高；

（2）如图2，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡将坝顶和坝底同时拓宽加固，使得 $\mathit{AE}=2\mathit{DF}$， $\mathit{EF}\perp \mathit{BF}$，求 $\mathit{DF}$的长．（参考数据： $\sin 37°\approx \frac{3}{5}$， $\cos 37°\approx \frac{4}{5}$， $\tan 37°\approx \frac{3}{4})$

如图，信号塔 $\mathit{PQ}$座落在坡度 $i=1:2$的山坡上，其正前方直立着一警示牌．当太阳光线与水平线成 $60°$角时，测得信号塔 $\mathit{PQ}$落在斜坡上的影子 $\mathit{QN}$长为 $2\sqrt{5}$米，落在警示牌上的影子 $\mathit{MN}$长为3米，求信号塔 $\mathit{PQ}$的高．（结果不取近似值）

如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高 $\mathit{BC}$是10米，坡面 $\mathit{AC}$的倾斜角 $\angle \mathit{CAB}=45°$，在距 $A$点10米处有一建筑物 $\mathit{HQ}$．为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面 $\mathit{DC}$的倾斜角 $\angle \mathit{BDC}=30°$，若新坡面下 $D$处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除？（计算最后结果保留一位小数）．（参考数据： $\sqrt{2}=1.414$， $\sqrt{3}=1.732)$

日照间距系数反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数 $=L:(H-H_1)$，其中 $L$为楼间水平距离， $H$为南侧楼房高度， $H_1$为北侧楼房底层窗台至地面高度．

如图②，山坡 $\mathit{EF}$朝北， $\mathit{EF}$长为 $15m$，坡度为 $i=1:0.75$，山坡顶部平地 $\mathit{EM}$上有一高为 $22.5m$的楼房 $\mathit{AB}$，底部 $A$到 $E$点的距离为 $4m$．

（1）求山坡 $\mathit{EF}$的水平宽度 $\mathit{FH}$；

（2）欲在 $\mathit{AB}$楼正北侧山脚的平地 $\mathit{FN}$上建一楼房 $\mathit{CD}$，已知该楼底层窗台 $P$处至地面 $C$处的高度为 $0.9m$，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部 $C$距 $F$处至少多远？

如图，这是一座一侧有缓步台的过街天桥示意图．已知桥面 $\mathit{BC}$长为 $10m$，与水平面的垂直距离为 $6m$，桥面 $\mathit{DE}$长为 $6m$，与水平面的垂直距离为 $4m$．斜坡 $\mathit{AB}$， $\mathit{CD}$与水平面的夹角分别为 $45°$， $27°$，斜坡 $\mathit{EF}$的坡度（即 $\mathit{EQ}:\mathit{FQ})$为 $2:3$．求天桥跨度 $\mathit{AF}$的长．

参考数据： $(\sin 27°\approx \frac{9}{20}$， $\cos 27°\approx \frac{9}{10}$， $\tan 27°\approx \frac{1}{2})$

如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角 $\alpha$ 要满足 $60°⩽\alpha ⩽75°$ ，现有一架长 $5.5m$ 的梯子．

（1）使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙（结果保留小数点后一位）？

（2）当梯子底端距离墙面 $2.2m$ 时， $\alpha$ 等于多少度（结果保留小数点后一位）？此时人是否能够安全使用这架梯子？

（参考数据： $\sin 75°\approx 0.97$ ， $\cos 75°\approx 0.26$ ， $\tan 75°\approx 3.73$ ， $\sin 23.6°\approx 0.40$ ， $\cos 66.4°\approx 0.40$ ， $\tan 21.8°\approx 0.40$ ． $)$

某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图所示，已知原阶梯式自动扶梯 $\mathit{AB}$长为 $10m$，坡角 $\angle \mathit{ABD}$为 $30°$；改造后的斜坡式自动扶梯的坡角 $\angle \mathit{ACB}$为 $15°$，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯 $\mathit{AC}$的长度，（结果精确到0． $m$，温馨提示： $\sin 15°\approx 0.26$， $\tan 15°\approx 0.27)$

如图，某测量小组为了测量山 $\mathit{BC}$的高度，在地面 $A$处测得山顶 $B$的仰角 $45°$，然后沿着坡度为 $i=1:\sqrt{3}$的坡面 $\mathit{AD}$走了200米达到 $D$处，此时在 $D$处测得山顶 $B$的仰角为 $60°$，求山高 $\mathit{BC}$（结果保留根号）．

资阳市为实现 $5G$网络全覆盖， $2020-2025$年拟建设 $5G$基站七千个．如图，在坡度为 $i=1:2.4$的斜坡 $\mathit{CB}$上有一建成的基站塔 $\mathit{AB}$，小芮在坡脚 $C$测得塔顶 $A$的仰角为 $45°$，然后她沿坡面 $\mathit{CB}$行走13米到达 $D$处，在 $D$处测得塔顶 $A$的仰角为 $53°$．（点 $A$、 $B$、 $C$、 $D$均在同一平面内）（参考数据： $\sin 53°\approx \frac{4}{5}$， $\cos 53°\approx \frac{3}{5}$， $\tan 53°\approx \frac{4}{3})$

（1）求 $D$处的竖直高度；

（2）求基站塔 $\mathit{AB}$的高．

如图，某校教学楼 $\mathit{AB}$后方有一斜坡，已知斜坡 $\mathit{CD}$的长为12米，坡角 $\alpha$为 $60°$，根据有关部门的规定， $\angle \alpha ⩽39°$时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡 $\mathit{CD}$进行改造，在保持坡脚 $C$不动的情况下，学校至少要把坡顶 $D$向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？（结果取整数）

（参考数据： $\sin 39°\approx 0.63$， $\cos 39°\approx 0.78$， $\tan 39°\approx 0.81$， $\sqrt{2}\approx 1.41$， $\sqrt{3}\approx 1.73$， $\sqrt{5}\approx 2.24)$

某兴趣小组为了测量大楼 $\mathit{CD}$ 的高度，先沿着斜坡 $\mathit{AB}$ 走了52米到达坡顶点 $B$ 处，然后在点 $B$ 处测得大楼顶点 $C$ 的仰角为 $53°$ ，已知斜坡 $\mathit{AB}$ 的坡度为 $i=1:2.4$ ，点 $A$ 到大楼的距离 $\mathit{AD}$ 为72米，求大楼的高度 $\mathit{CD}$ ．

（参考数据： $\sin 53°\approx \frac{4}{5}$ ， $\cos 53°\approx \frac{3}{5}$ ， $\tan 53°\approx \frac{4}{3})$

如图，雨后初晴，李老师在公园散步，看见积水水面上出现梯步上方树的倒影，于是想利用倒影与物体的对称性测量这颗树的高度，他的方法是：测得树顶的仰角 $\angle 1$、测量点 $A$到水面平台的垂直高度 $\mathit{AB}$、看到倒影顶端的视线与水面交点 $C$到 $\mathit{AB}$的水半距离 $\mathit{BC}$．再测得梯步斜坡的坡角 $\angle 2$和长度 $\mathit{EF}$，根据以下数据进行计算，

如图， $\mathit{AB}=2$米， $\mathit{BC}=1$米， $\mathit{EF}=4\sqrt{6}$米， $\angle 1=60°$， $\angle 2=45°$．已知线段 $\mathit{ON}$和线段 $\mathit{OD}$关于直线 $\mathit{OB}$对称．（以下结果保留根号）

（1）求梯步的高度 $\mathit{MO}$；

（2）求树高 $\mathit{MN}$．

“蘑菇石”是我省著名自然保护区梵净山的标志，小明从山脚 $B$点先乘坐缆车到达观景平台 $\mathit{DE}$观景，然后再沿着坡脚为 $29°$的斜坡由 $E$点步行到达“蘑菇石” $A$点，“蘑菇石” $A$点到水平面 $\mathit{BC}$的垂直距离为 $1790m$．如图， $\mathit{DE}//\mathit{BC}$， $\mathit{BD}=1700m$， $\angle \mathit{DBC}=80°$，求斜坡 $\mathit{AE}$的长度．（结果精确到 $0.1m)$