初中数学解直角三角形解答题

已知：如图，在△ABC中，BC=AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．

（1）求证：点D是AB的中点；
（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（3）若⊙O的直径为18，cosB=，求DE的长．

如图，射线 $\mathit{AB}$ 和射线 $\mathit{CB}$ 相交于点 $B$ ， $\angle \mathit{ABC}=\alpha (0°<\alpha <180°)$ ，且 $\mathit{AB}=\mathit{CB}$ ．点 $D$ 是射线 $\mathit{CB}$ 上的动点（点 $D$ 不与点 $C$ 和点 $B$ 重合），作射线 $\mathit{AD}$ ，并在射线 $\mathit{AD}$ 上取一点 $E$ ，使 $\angle \mathit{AEC}=\alpha$ ，连接 $\mathit{CE}$ ， $\mathit{BE}$ ．

（1）如图①，当点 $D$ 在线段 $\mathit{CB}$ 上， $\alpha =90°$ 时，请直接写出 $\angle \mathit{AEB}$ 的度数；

（2）如图②，当点 $D$ 在线段 $\mathit{CB}$ 上， $\alpha =120°$ 时，请写出线段 $\mathit{AE}$ ， $\mathit{BE}$ ， $\mathit{CE}$ 之间的数量关系，并说明理由；

（3）当 $\alpha =120°$ ， $\tan \angle \mathit{DAB}=\frac{1}{3}$ 时，请直接写出 $\frac{\mathit{CE}}{\mathit{BE}}$ 的值．

如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．

（1）动手操作：利用尺规作∠ABC的平分线，交AC于点O，再以O为圆心，OC的长为半径作⊙O（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）综合运用：在你所作的图中，
①判断AB与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
②若AC=12，tanOBC=，求⊙O的半径．

“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：≈1．41，≈1．73）

如图，以 $\mathit{AB}$ 为直径的 $\odot O$ 经过 $\mathit{\Delta ABC}$ 的顶点 $C$ ，过点 $O$ 作 $\mathit{OD}//\mathit{BC}$ 交 $\odot O$ 于点 $D$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $F$ ，连接 $\mathit{BD}$ 交 $\mathit{AC}$ 于点 $G$ ，连接 $\mathit{CD}$ ，在 $\mathit{OD}$ 的延长线上取一点 $E$ ，连接 $\mathit{CE}$ ，使 $\angle \mathit{DEC}=\angle \mathit{BDC}$ ．

（1）求证： $\mathit{EC}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\odot O$ 的半径是3， $\mathit{DG}·\mathit{DB}=9$ ，求 $\mathit{CE}$ 的长．

如图所示，小明家小区空地上有两颗笔直的树CD、EF．一天，他在A处测得树顶D的仰角∠DAC=30°，在B处测得树顶F的仰角∠FBE=45°，线段BF恰好经过树顶D．已知A、B两处的距离为2米，两棵树之间的距离CE=3米，A．B、C、E四点在一条直线上，求树EF的高度．（≈1.7，≈1.4，结果保留一位小数）

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$ 中， $E$ ， $F$ 是对角线 $\mathit{BD}$ 上的两点（点 $E$ 在点 $F$ 左侧），且 $\angle \mathit{AEB}=\angle \mathit{CFD}=90°$ ．

（1）求证：四边形 $\mathit{AECF}$ 是平行四边形；

（2）当 $\mathit{AB}=5$ ， $\tan \angle \mathit{ABE}=\frac{3}{4}$ ， $\angle \mathit{CBE}=\angle \mathit{EAF}$ 时，求 $\mathit{BD}$ 的长．

如图，小明从P处出发，沿北偏东60°方向行驶200米到达A处，接着向正南方向行驶一段时间到达B处．在B处观测到出发时所在的P处在北偏西37°方向上，这时P、B两点相距多少米？（精确到1米，参考数据：sin37°≈0．60，cos37°≈0．80，tan37°≈0．75，≈1．41，≈1．73）

如图， $O$为 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$的直角边 $\mathit{AC}$上一点，以 $\mathit{OC}$为半径的 $\odot O$与斜边 $\mathit{AB}$相切于点 $D$，交 $\mathit{OA}$于点 $E$．已知 $\mathit{BC}=\sqrt{3}$， $\mathit{AC}=3$．

（1）求 $\mathit{AD}$的长；

（2）求图中阴影部分的面积．

已知 $\mathit{BC}$是 $\odot O$的直径，点 $D$是 $\mathit{BC}$延长线上一点， $\mathit{AB}=\mathit{AD}$， $\mathit{AE}$是 $\odot O$的弦， $\angle \mathit{AEC}=30°$．

（1）求证：直线 $\mathit{AD}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AE}\perp \mathit{BC}$，垂足为 $M$， $\odot O$的半径为4，求 $\mathit{AE}$的长．

如图，已知，求AB和BC的长．

为测山高，在点A处测得山顶D的仰角为31°，从点A向山方向前进140米到达点B，在B处测得山顶D的仰角为62°（如图）．

（1）在所给的图②中尺规作图：过点D作DC⊥AB，交AB的延长线于点C；
（2）山高DC是多少（结果取整数）？

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，tan A＝，AD＝20．求BC的长．

如图，已知 $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，过 $O$点作 $\mathit{OP}\perp \mathit{AB}$，交弦 $\mathit{AC}$于点 $D$，交 $\odot O$于点 $E$，且使 $\angle \mathit{PCA}=\angle \mathit{ABC}$．

（1）求证： $\mathit{PC}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\angle P=60°$， $\mathit{PC}=2$，求 $\mathit{PE}$的长．

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F．

（1）求证：BD=BF；
（2）若CF=1，cosB=，求⊙O的半径．