初中数学锐角三角函数的定义解答题

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$ 中，对角线 $\mathit{AC}$ 与 $\mathit{BD}$ 相交于点 $O$ ， $\mathit{AC}=4$ ， $\mathit{BD}=8$ ，点 $E$ 在边 $\mathit{AD}$ 上， $\mathit{AE}=\frac{1}{3}\mathit{AD}$ ，连结 $\mathit{BE}$ 交 $\mathit{AC}$ 于点 $M$ ．

（1）求 $\mathit{AM}$ 的长．

（2） $\tan \angle \mathit{MBO}$ 的值为 　　．

如图，根据图中数据解答下列问题．

（1）sin²A₁＋sin²B₁＝________；
sin²A₂＋sin²B₂＝________；
sin²A₃＋sin²B₃＝________．
观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°，都有sin²A＋sin²B＝________．
（2）如图④，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明（1）中的猜想．
（3）已知∠A＋∠B＝90°，且，求sinB．

如图，定义：在中，，锐角的邻边与对边的比叫做角的余切，记作，即=．

根据上述角的余切定义，解答下列问题：
（1）=          ．
（2）求的值．

如图，已知 $\mathit{\Delta ABC}$的顶点坐标分别为 $A(3,0)$， $B(0,4)$， $C(-3,0)$．动点 $M$， $N$同时从 $A$点出发， $M$沿 $A\to C$， $N$沿折线 $A\to B\to C$，均以每秒1个单位长度的速度移动，当一个动点到达终点 $C$时，另一个动点也随之停止移动，移动的时间记为 $t$秒．连接 $\mathit{MN}$．

（1）求直线 $\mathit{BC}$的解析式；

（2）移动过程中，将 $\mathit{\Delta AMN}$沿直线 $\mathit{MN}$翻折，点 $A$恰好落在 $\mathit{BC}$边上点 $D$处，求此时 $t$值及点 $D$的坐标；

（3）当点 $M$， $N$移动时，记 $\mathit{\Delta ABC}$在直线 $\mathit{MN}$右侧部分的面积为 $S$，求 $S$关于时间 $t$的函数关系式．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABM}$和 $\text{Rt}\Delta \text{ADN}$的斜边分别为正方形的边 $\mathit{AB}$和 $\mathit{AD}$，其中 $\mathit{AM}=\mathit{AN}$．

（1）求证： $\text{Rt}\Delta \text{ABM}\cong \text{Rt}\Delta \text{AND}$；

（2）线段 $\mathit{MN}$与线段 $\mathit{AD}$相交于 $T$，若 $\mathit{AT}=\frac{1}{4}\mathit{AD}$，求 $\tan \angle \mathit{ABM}$的值．

如图1，直线 $y=x+1$与抛物线 $y=2x^2$相交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $M$， $M$、 $N$关于 $x$轴对称，连接 $\mathit{AN}$、 $\mathit{BN}$．

（1）①求 $A$、 $B$的坐标；②求证： $\angle \mathit{ANM}=\angle \mathit{BNM}$；

（2）如图2，将题中直线 $y=x+1$变为 $y=\mathit{kx}+b(b>0)$，抛物线 $y=2x^2$变为 $y=a{x}^2(a>0)$，其他条件不变，那么 $\angle \mathit{ANM}=\angle \mathit{BNM}$是否仍然成立？请说明理由．

如图，在 $\odot O$中， $\mathit{AB}$是直径， $\mathit{CD}$是弦， $\mathit{AB}\perp \mathit{CD}$，垂足为 $P$，过点 $D$的 $\odot O$的切线与 $\mathit{AB}$延长线交于点 $E$，连接 $\mathit{CE}$．

（1）求证： $\mathit{CE}$为 $\odot O$的切线；

（2）若 $\odot O$半径为3， $\mathit{CE}=4$，求 $\sin \angle \mathit{DEC}$．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$ 内接于 $\odot O$ ， $D$ 是 $\odot O$ 的直径 $\mathit{AB}$ 的延长线上一点， $\angle \mathit{DCB}=\angle \mathit{OAC}$ ．过圆心 $O$ 作 $\mathit{BC}$ 的平行线交 $\mathit{DC}$ 的延长线于点 $E$ ．

（1）求证： $\mathit{CD}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\mathit{CD}=4$ ， $\mathit{CE}=6$ ，求 $\odot O$ 的半径及 $\tan \angle \mathit{OCB}$ 的值．

如图，已知 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle C=90°$，点 $M$从点 $C$出发沿 $\mathit{CB}$方向以 $1\mathit{cm}/s$的速度匀速运动，到达点 $B$停止运动，在点 $M$的运动过程中，过点 $M$作直线 $\mathit{MN}$交 $\mathit{AC}$于点 $N$，且保持 $\angle \mathit{NMC}=45°$，再过点 $N$作 $\mathit{AC}$的垂线交 $\mathit{AB}$于点 $F$，连接 $\mathit{MF}$．将 $\mathit{\Delta MNF}$关于直线 $\mathit{NF}$对称后得到 $\mathit{\Delta ENF}$，已知 $\mathit{AC}=8\mathit{cm}$， $\mathit{BC}=4\mathit{cm}$，设点 $M$运动时间为 $t\left(s\right)$， $\mathit{\Delta ENF}$与 $\mathit{\Delta ANF}$重叠部分的面积为 $y\left(c{m}^2\right)$．

（1）在点 $M$的运动过程中，能否使得四边形 $\mathit{MNEF}$为正方形？如果能，求出相应的 $t$值；如果不能，说明理由；

（2）求 $y$关于 $t$的函数解析式及相应 $t$的取值范围；

（3）当 $y$取最大值时，求 $\sin \angle \mathit{NEF}$的值．

如图，二次函数的图象与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，抛物线过点，且顶点为，连接、、、．

（1）填空：　 　；

（2）点是抛物线上一点，点的横坐标大于1，直线交直线于点．若，求点的坐标；

（3）点在直线上，点关于直线对称的点为，点关于直线对称的点为，连接．当点在轴上时，直接写出的长．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}//\mathit{BC}$， $\mathit{AD}\perp \mathit{AB}$， $\mathit{AD}=\mathit{AB}=1$， $\mathit{DC}=\sqrt{5}$，以 $A$为圆心， $\mathit{AD}$为半径作圆，延长 $\mathit{CD}$交 $\odot A$于点 $F$，延长 $\mathit{DA}$交 $\odot A$于点 $E$，连结 $\mathit{BF}$，交 $\mathit{DE}$于点 $G$．

（1）求证： $\mathit{BC}$为 $\odot A$的切线；

（2）求 $\cos \angle \mathit{EDF}$的值；

（3）求线段 $\mathit{BG}$的长．

如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，．若不改变矩形的形状和大小，当矩形顶点在轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点始终在轴的正半轴上随之上下移动．

（1）当时，求点的坐标；

（2）设的中点为，连接、，当四边形的面积为时，求的长；

（3）当点移动到某一位置时，点到点的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时的值．

如图，抛物线经过点，与轴相交于，两点．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点在抛物线的对称轴上，且位于轴的上方，将沿直线翻折得到△，若点恰好落在抛物线的对称轴上，求点和点的坐标；

（3）设是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点在抛物线的对称轴上，当为等边三角形时，求直线的函数表达式．

如图，抛物线经过轴上的点和点及轴上的点，经过、两点的直线为．

①求抛物线的解析式．

②点从出发，在线段上以每秒1个单位的速度向运动，同时点从出发，在线段上以每秒2个单位的速度向运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为秒，求为何值时，的面积最大并求出最大值．

③过点作于点，过抛物线上一动点（不与点、重合）作直线的平行线交直线于点．若点、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的横坐标．

如图，点 $O$ 为以 $\mathit{AB}$ 为直径的半圆的圆心，点 $M$ ， $N$ 在直径 $\mathit{AB}$ 上，点 $P$ ， $Q$ 在 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$ 上，四边形 $\mathit{MNPQ}$ 为正方形，点 $C$ 在 $\stackrel{̂}{\mathit{QP}}$ 上运动（点 $C$ 与点 $P$ ， $Q$ 不重合），连接 $\mathit{BC}$ 并延长交 $\mathit{MQ}$ 的延长线于点 $D$ ，连接 $\mathit{AC}$ 交 $\mathit{MQ}$ 于点 $E$ ，连接 $\mathit{OQ}$ ．

（1）求 $\sin \angle \mathit{AOQ}$ 的值；

（2）求 $\frac{\mathit{AM}}{\mathit{MN}}$ 的值；

（3）令 $\mathit{ME}=x$ ， $\mathit{QD}=y$ ，直径 $\mathit{AB}=2R(R>0$ ， $R$ 是常数），求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并指明自变量 $x$ 的取值范围．