初中数学相似三角形的判定与性质解答题

如图，已知点D是△ABC的边AC上的一点，连接BD．∠ABD＝∠C，AB＝6，AD＝4．

（1）求证：△ABD∽△ACB；
（2）求线段CD的长．

定义：有三个内角相等的四边形叫三等角四边形．

（1）三等角四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle A=\angle B=\angle C$，求 $\angle A$的取值范围；

（2）如图，折叠平行四边形纸片 $\mathit{DEBF}$，使顶点 $E$， $F$分别落在边 $\mathit{BE}$， $\mathit{BF}$上的点 $A$， $C$处，折痕分别为 $\mathit{DG}$， $\mathit{DH}$．求证：四边形 $\mathit{ABCD}$是三等角四边形．

（3）三等角四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle A=\angle B=\angle C$，若 $\mathit{CB}=\mathit{CD}=4$，则当 $\mathit{AD}$的长为何值时， $\mathit{AB}$的长最大，其最大值是多少？并求此时对角线 $\mathit{AC}$的长．

基本模型
如图1，点A，F，B在同一直线上，若∠A=∠B=∠EFC=90°，易得△AFE∽△BCF．
（1）模型拓展：
如图2，点A，F，B在同一直线上，若∠A=∠B=∠EFC，求证：△AFE∽△BCF；
（2）拓展应用：如图3，AB是半圆⊙O的直径，弦长AC=BC=4，E，F分别是AC，AB上的一点，若∠CFE=45°．若设AE=y，BF=x，求出y与x的函数关系式及y的最大值；

如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以BC为直径作⊙O，交AC于D，E为 $\stackrel{̂}{\mathit{CD}}$的中点，连接CE，BE，BE交AC于F．

（1）求证：AB＝AF；

（2）若AB＝3，BC＝4，求CE的长．

如图，已知AB为⊙O的直径，AC为⊙O的切线，OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于点E．

（1）求证：∠1＝∠CAD；

（2）若AE＝EC＝2，求⊙O的半径．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{CA}=\mathit{CB}$ ， $\mathit{BC}$ 与 $\odot A$ 相切于点 $D$ ，过点 $A$ 作 $\mathit{AC}$ 的垂线交 $\mathit{CB}$ 的延长线于点 $E$ ，交 $\odot A$ 于点 $F$ ，连结 $\mathit{BF}$ ．

（1）求证： $\mathit{BF}$ 是 $\odot A$ 的切线．

（2）若 $\mathit{BE}=5$ ， $\mathit{AC}=20$ ，求 $\mathit{EF}$ 的长．

如图，⊙ O是△ ABC的外接圆， BC是⊙ O的直径，∠ ABC＝30°，过点 B作⊙ O的切线 BD，与 CA的延长线交于点 D，与半径 AO的延长线交于点 E，过点 A作⊙ O的切线 AF，与直径 BC的延长线交于点 F．

（1）求证：△ ACF∽△ DAE；

（2）若 $S_{△\mathit{AOC}}=\frac{\sqrt{3}}{4}$ ，求 DE的长；

（3）连接 EF，求证： EF是⊙ O的切线．

如图，已知 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle C=90°$ ．

（1）请按如下要求完成尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）．

①作 $\angle \mathit{BAC}$ 的角平分线 $\mathit{AD}$ ，交 $\mathit{BC}$ 于点 $D$ ；

②作线段 $\mathit{AD}$ 的垂直平分线 $\mathit{EF}$ 与 $\mathit{AB}$ 相交于点 $O$ ；

③以点 $O$ 为圆心，以 $\mathit{OD}$ 长为半径画圆，交边 $\mathit{AB}$ 于点 $M$ ．

（2）在（1）的条件下，求证： $\mathit{BC}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（3）若 $\mathit{AM}=4\mathit{BM}$ ， $\mathit{AC}=10$ ，求 $\odot O$ 的半径．

如图，在半径为 $5\mathit{cm}$ 的 $\odot O$ 中， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径， $\mathit{CD}$ 是过 $\odot O$ 上一点 $C$ 的直线，且 $\mathit{AD}\perp \mathit{DC}$ 于点 $D$ ， $\mathit{AC}$ 平分 $\angle \mathit{BAD}$ ， $E$ 是 $\mathit{BC}$ 的中点， $\mathit{OE}=3\mathit{cm}$ ．

（1）求证： $\mathit{CD}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）求 $\mathit{AD}$ 的长．

如图， $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径， $C$为 $\odot O$上一点， $\mathit{AD}\perp \mathit{CE}$，垂足为 $D$， $\mathit{AC}$平分 $\angle \mathit{DAB}$．

（1）求证： $\mathit{CE}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AD}=4$， $\cos \angle \mathit{CAB}=\frac{4}{5}$，求 $\mathit{AB}$的长．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$内接于 $\odot O$， $\mathit{CD}$平分 $\angle \mathit{ACB}$交 $\odot O$于 $D$，过点 $D$作 $\mathit{PQ}//\mathit{AB}$分别交 $\mathit{CA}$、 $\mathit{CB}$延长线于 $P$、 $Q$，连接 $\mathit{BD}$．

（1）求证： $\mathit{PQ}$是 $\odot O$的切线；

（2）求证： $B{D}^2=\mathit{AC}·\mathit{BQ}$；

（3）若 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BQ}$的长是关于 $x$的方程 $x+\frac{4}{x}=m$的两实根，且 $\tan \angle \mathit{PCD}=\frac{1}{3}$，求 $\odot O$的半径．

如图，已知⊙ O的半径为2， AB为直径， CD为弦． AB与 CD交于点 M，将 $\stackrel{̂}{\mathit{CD}}$ 沿 CD翻折后，点 A与圆心 O重合，延长 OA至 P，使 AP＝ OA，连接 PC

（1）求 CD的长；

（2）求证： PC是⊙ O的切线；

（3）点 G为 $\stackrel{̂}{\mathit{ADB}}$ 的中点，在 PC延长线上有一动点 Q，连接 QG交 AB于点 E．交 $\stackrel{̂}{\mathit{BC}}$ 于点 F（ F与 B、 C不重合）．问 GE• GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．

如图，点、分别为、边上两点，且，，，．

（1）试说明：∽；
（2）若，求的长．

数学活动--求重叠部分的面积．
问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：
如图1，将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，顶点D与边AB的中点重合．

（1）若DE经过点C，DF交AC于点G，求重叠部分（△DCG）的面积；
（2）合作交流：“希望”小组受问题（1）的启发，将△DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于点H，DF交AC于点G，如图2，求重叠部分（△DGH）的面积．

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$中， $O$是对角线 $\mathit{BD}$上一点 $(\mathit{BO}>\mathit{DO})$， $\mathit{OE}\perp \mathit{AB}$，垂足为 $E$，以 $\mathit{OE}$为半径的 $\odot O$分别交 $\mathit{DC}$于点 $H$，交 $\mathit{EO}$的延长线于点 $F$， $\mathit{EF}$与 $\mathit{DC}$交于点 $G$．

（1）求证： $\mathit{BC}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $G$是 $\mathit{OF}$的中点， $\mathit{OG}=2$， $\mathit{DG}=1$．

①求 $\stackrel{̂}{\mathit{HE}}$的长；

②求 $\mathit{AD}$的长．