初中数学相似三角形的判定与性质解答题

在中，已知是边的中点，是的重心，过点的直线分别交、于点、．

（1）如图1，当时，求证：；

（2）如图2，当和不平行，且点、分别在线段、上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．

（3）如图3，当点在的延长线上或点在的延长线上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\mathit{DE}$垂直平分 $\mathit{AB}$，交线段 $\mathit{BC}$于点 $E$（点 $E$与点 $C$不重合），点 $F$为 $\mathit{AC}$上一点，点 $G$为 $\mathit{AB}$上一点（点 $G$与点 $A$不重合），且 $\angle \mathit{GEF}+\angle \mathit{BAC}=180°$．

（1）如图1，当 $\angle B=45°$时，线段 $\mathit{AG}$和 $\mathit{CF}$的数量关系是　　．

（2）如图2，当 $\angle B=30°$时，猜想线段 $\mathit{AG}$和 $\mathit{CF}$的数量关系，并加以证明．

（3）若 $\mathit{AB}=6$， $\mathit{DG}=1$， $\cos B=\frac{3}{4}$，请直接写出 $\mathit{CF}$的长．

如图，为的直径，为上的一点，，，的延长线交于点，连接．

（1）求证：是的切线；

（2）若为的中点，求的值．

如图，在边长为1的正方形组成的方格中，点，都在格点上．

（1）在给定的方格中将线段平移到，使得四边形是矩形，且点，都落在格点上．画出四边形，并叙述线段的平移过程；

（2）在方格中画出关于直线对称的；

（3）直接写出与的交点到线段的距离．

如图， $\mathit{PA}$与 $\odot O$相切于点 $A$，过点 $A$作 $\mathit{AB}\perp \mathit{OP}$，垂足为 $C$，交 $\odot O$于点 $B$．连接 $\mathit{PB}$， $\mathit{AO}$，并延长 $\mathit{AO}$交 $\odot O$于点 $D$，与 $\mathit{PB}$的延长线交于点 $E$．

（1）求证： $\mathit{PB}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{OC}=3$， $\mathit{AC}=4$，求 $\sin E$的值．

如图，中，，，，是上一点，，，垂足为，求线段的长．

四边形 $\mathit{ABCD}$是边长为2的正方形， $E$是 $\mathit{AB}$的中点，连结 $\mathit{DE}$，点 $F$是射线 $\mathit{BC}$上一动点（不与点 $B$重合），连结 $\mathit{AF}$，交 $\mathit{DE}$于点 $G$．

（1）如图1，当点 $F$是 $\mathit{BC}$边的中点时，求证： $\mathit{\Delta ABF}\cong \mathit{\Delta DAE}$；

（2）如图2，当点 $F$与点 $C$重合时，求 $\mathit{AG}$的长；

（3）在点 $F$运动的过程中，当线段 $\mathit{BF}$为何值时， $\mathit{AG}=\mathit{AE}$？请说明理由．

如图，在 $\odot O$中，弦 $\mathit{AB}$与直径 $\mathit{CD}$垂直，垂足为 $M$， $\mathit{CD}$的延长线上有

一点 $P$，满足 $\angle \mathit{PBD}=\angle \mathit{DAB}$．过点 $P$作 $\mathit{PN}\perp \mathit{CD}$，交 $\mathit{OA}$的延长线于点 $N$，连接 $\mathit{DN}$交 $\mathit{AP}$于点 $H$．

（1）求证： $\mathit{BP}$是 $\odot O$的切线；

（2）如果 $\mathit{OA}=5$， $\mathit{AM}=4$，求 $\mathit{PN}$的值；

（3）如果 $\mathit{PD}=\mathit{PH}$，求证： $\mathit{AH}·\mathit{OP}=\mathit{HP}·\mathit{AP}$．

如图，是的直径，是上一点，，．

（1）求证：是的切线；

（2）若，，求的值．

如图， 是 的直径， ，点 为线段 上一点（不与 ， 重合），作 ，交 于点 ，垂足为点 ，作直径 ，过点 的切线交 的延长线于点 ， 于点 ，连接 ．

（1）求证： 是 的平分线；

（2）求证： ；

（3）当 $\frac{\mathit{CF}}{\mathit{CP}}=\frac{3}{4}$ 时，求劣弧 的长度（结果保留

在矩形 $\mathit{ABCD}$ 的 $\mathit{CD}$ 边上取一点 $E$ ，将 $\mathit{\Delta BCE}$ 沿 $\mathit{BE}$ 翻折，使点 $C$ 恰好落在 $\mathit{AD}$ 边上点 $F$ 处．

（1）如图1，若 $\mathit{BC}=2\mathit{BA}$ ，求 $\angle \mathit{CBE}$ 的度数；

（2）如图2，当 $\mathit{AB}=5$ ，且 $\mathit{AF}·\mathit{FD}=10$ 时，求 $\mathit{BC}$ 的长；

（3）如图3，延长 $\mathit{EF}$ ，与 $\angle \mathit{ABF}$ 的角平分线交于点 $M$ ， $\mathit{BM}$ 交 $\mathit{AD}$ 于点 $N$ ，当 $\mathit{NF}=\mathit{AN}+\mathit{FD}$ 时，求 $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{BC}}$ 的值．

如图，线段 是 的直径，弦 于点 ，点 是 上任意一点， ， ．

（1）求 的半径 的长度；

（2）求 ；

（3）直线 交直线 于点 ，直线 交 于点 ，连接 交 于点 ，求 的值．

如图，点 $A$ 在以 $\mathit{BC}$ 为直径的 $\odot O$ 上， $\angle \mathit{ABC}$ 的角平分线与 $\mathit{AC}$ 相交于点 $E$ ，与 $\odot O$ 相交于点 $D$ ，延长 $\mathit{CA}$ 至 $M$ ，连结 $\mathit{BM}$ ，使得 $\mathit{MB}=\mathit{ME}$ ，过点 $A$ 作 $\mathit{BM}$ 的平行线与 $\mathit{CD}$ 的延长线交于点 $N$ ．

（1）求证： $\mathit{BM}$ 与 $\odot O$ 相切；

（2）试给出 $\mathit{AC}$ 、 $\mathit{AD}$ 、 $\mathit{CN}$ 之间的数量关系，并予以证明．

如图，在 $\odot O$中，直径 $\mathit{AB}$经过弦 $\mathit{CD}$的中点 $E$，点 $M$在 $\mathit{OD}$上， $\mathit{AM}$的延长线交 $\odot O$于点 $G$，交过 $D$的直线于 $F$， $\angle 1=\angle 2$，连接 $\mathit{BD}$与 $\mathit{CG}$交于点 $N$．

（1）求证： $\mathit{DF}$是 $\odot O$的切线；

（2）若点 $M$是 $\mathit{OD}$的中点， $\odot O$的半径为3， $\tan \angle \mathit{BOD}=2\sqrt{2}$，求 $\mathit{BN}$的长．

在矩形ABCD中，E为CD的中点，H为BE上的一点， $\frac{\mathit{EH}}{\mathit{EG}}=3$，连接CH并延长交AB于点G，连接GE并延长交AD的延长线于点F．

（1）求证： $\frac{\mathit{EC}}{\mathit{BG}}=\frac{\mathit{EH}}{\mathit{BH}}$；

（2）若∠CGF＝90°，求 $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{BC}}$的值．