初中数学相似三角形的判定与性质解答题

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，点 $C$、 $D$在 $\odot O$上， $\angle A=2\angle \mathit{BCD}$，点 $E$在 $\mathit{AB}$的延长线上， $\angle \mathit{AED}=\angle \mathit{ABC}$．

（1）求证： $\mathit{DE}$与 $\odot O$相切；

（2）若 $\mathit{BF}=2$， $\mathit{DF}=\sqrt{10}$，求 $\odot O$的半径．

如图，内接于，，是的直径，与相交于点，过点作，分别交、的延长线于点、，连接．

（1）求证：是的切线；

（2）求证：．

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=2\sqrt{5}$， $O$是 $\mathit{BC}$边的中点，点 $E$是正方形内一动点， $\mathit{OE}=2$，连接 $\mathit{DE}$，将线段 $\mathit{DE}$绕点 $D$逆时针旋转 $90°$得 $\mathit{DF}$，连接 $\mathit{AE}$， $\mathit{CF}$．

（1）求证： $\mathit{AE}=\mathit{CF}$；

（2）若 $A$， $E$， $O$三点共线，连接 $\mathit{OF}$，求线段 $\mathit{OF}$的长．

（3）求线段 $\mathit{OF}$长的最小值．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}=90°$，以 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot O$交 $\mathit{BC}$于点 $E$，且点 $E$是 $\stackrel{̂}{\mathit{AD}}$的中点，连接 $\mathit{AD}$交 $\mathit{BE}$于点 $F$，连接 $\mathit{EA}$， $\mathit{ED}$．

（1）求证： $\mathit{AC}=\mathit{AF}$；

（2）若 $\mathit{EF}=2$， $\mathit{BF}=8$，求 $\mathit{AF}$的长．

如图，在△ABC中，∠C＝90°，D、F是AB边上两点，以DF为直径的⊙O与BC相交于点E，连接EF，∠OFE＝ $\frac{1}{2}$∠A．过点F作FG⊥BC于点G，交⊙O于点H，连接EH．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）连接ED，过点E作EQ⊥AB，垂足为Q，△EQD和△EGH全等吗？若全等，请予以证明；若不全等，请说明理由；

（3）当BO＝5，BE＝4时，求△EHG的面积．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=2$， $\mathit{AD}=4$． $E$， $F$分别在 $\mathit{AD}$， $\mathit{BC}$上，点 $A$与点 $C$关于 $\mathit{EF}$所在的直线对称， $P$是边 $\mathit{DC}$上的一动点．

（1）连接 $\mathit{AF}$， $\mathit{CE}$，求证四边形 $\mathit{AFCE}$是菱形；

（2）当 $\mathit{\Delta PEF}$的周长最小时，求 $\frac{\mathit{DP}}{\mathit{CP}}$的值；

（3）连接 $\mathit{BP}$交 $\mathit{EF}$于点 $M$，当 $\angle \mathit{EMP}=45°$时，求 $\mathit{CP}$的长．

如图， PA为⊙ O的切线， A为切点，直线 PO交⊙ O于点 M、 N，过点 A作 PO的垂线 AB，垂足为 C，交⊙ O于点 B，延长 BO与⊙ O交于点 D，连接 AD、 BM．

（1）等式 OD ²＝ OC• OP成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．

（2）若 AD＝6，tan∠ M＝ $\frac{1}{2}$ ，求sin∠ D的值．

如图，在△ ABC中，∠ C＝90°，∠ ABC的平分线交 AC于点 E，过点 E作 BE的垂线交 AB于点 F，⊙ O是△ BEF的外接圆．

（1）求证： AC是⊙ O的切线；

（2）过点 E作 EH⊥ AB，垂足为 H，求证： CD＝ HF；

（3）若 CD＝1， EH＝3，求 BF及 AF长．

如图①，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$， $\mathit{AC}=3$， $\mathit{BC}=4$．求作菱形 $\mathit{DEFG}$，使点 $D$在边 $\mathit{AC}$上，点 $E$、 $F$在边 $\mathit{AB}$上，点 $G$在边 $\mathit{BC}$上．

小明的作法

1．如图②，在边 $\mathit{AC}$上取一点 $D$，过点 $D$作 $\mathit{DG}//\mathit{AB}$交 $\mathit{BC}$于点 $G$．

2．以点 $D$为圆心， $\mathit{DG}$长为半径画弧，交 $\mathit{AB}$于点 $E$．

3．在 $\mathit{EB}$上截取 $\mathit{EF}=\mathit{ED}$，连接 $\mathit{FG}$，则四边形 $\mathit{DEFG}$为所求作的菱形．

（1）证明小明所作的四边形 $\mathit{DEFG}$是菱形．

（2）小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点 $D$的位置变化而变化 $\dots \dots$请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的 $\mathit{CD}$的长的取值范围．

如图，AB、BC、CD分别与⊙O切于E、F、G，且AB∥CD．连接OB、OC，延长CO交⊙O于点M，过点M作MN∥OB交CD于N．

（1）求证：MN是⊙O的切线；

（2）当OB＝6cm，OC＝8cm时，求⊙O的半径及MN的长．

如图，已知EC∥AB，∠EDA＝∠ABF．

（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；

（2）求证：OA²＝OE•OF．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{CD}$与 $\odot O$相切于点 $C$，与 $\mathit{AB}$的延长线交于点 $D$， $\mathit{CE}\perp \mathit{AB}$于点 $E$．

（1）求证： $\angle \mathit{BCE}=\angle \mathit{BCD}$；

（2）若 $\mathit{AD}=10$， $\mathit{CE}=2\mathit{BE}$，求 $\odot O$的半径．

如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，OD⊥AB于点O，分别交AC、CF于点E、D，且DE＝DC．

（1）求证：CF是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为5，BC＝ $\sqrt{10}$，求DE的长．

如图， $\odot O$ 是 $\mathit{\Delta ABC}$ 的外接圆，点 $O$ 在 $\mathit{BC}$ 边上， $\angle \mathit{BAC}$ 的平分线交 $\odot O$ 于点 $D$ ，连接 $\mathit{BD}$ ， $\mathit{CD}$ ，过点 $D$ 作 $\odot O$ 的切线与 $\mathit{AC}$ 的延长线交于点 $P$ ．

（1）求证： $\mathit{DP}//\mathit{BC}$ ；

（2）求证： $\mathit{\Delta ABD}\backsim \mathit{\Delta DCP}$ ；

（3）当 $\mathit{AB}=5\mathit{cm}$ ， $\mathit{AC}=12\mathit{cm}$ 时，求线段 $\mathit{PC}$ 的长．

如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P，E分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD为矩形．

（Ⅰ）若△PCD是等腰三角形时，求AP的长；

（Ⅱ）若 $\mathit{AP}=\sqrt{2}$，求CF的长．