初中数学平行线分线段成比例解答题

已知点 $O$是正方形 $\mathit{ABCD}$对角线 $\mathit{BD}$的中点．

（1）如图1，若点 $E$是 $\mathit{OD}$的中点，点 $F$是 $\mathit{AB}$上一点，且使得 $\angle \mathit{CEF}=90°$，过点 $E$作 $\mathit{ME}//\mathit{AD}$，交 $\mathit{AB}$于点 $M$，交 $\mathit{CD}$于点 $N$．求证：

① $\angle \mathit{AEM}=\angle \mathit{FEM}$； ②点 $F$是 $\mathit{AB}$的中点；

（2）如图2，若点 $E$是 $\mathit{OD}$上一点，点 $F$是 $\mathit{AB}$上一点，且使 $\frac{\mathit{DE}}{\mathit{DO}}=\frac{\mathit{AF}}{\mathit{AB}}=\frac{1}{3}$，请判断 $\mathit{\Delta EFC}$的形状，并说明理由；

（3）如图3，若 $E$是 $\mathit{OD}$上的动点（不与 $O$， $D$重合），连接 $\mathit{CE}$，过 $E$点作 $\mathit{EF}\perp \mathit{CE}$，交 $\mathit{AB}$于点 $F$，当 $\frac{\mathit{DE}}{\mathit{DB}}=\frac{m}{n}$时，请猜想 $\frac{\mathit{AF}}{\mathit{AB}}$的值（请直接写出结论）．

如图，已知 $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{CD}$与 $\odot O$相切于 $C$， $\mathit{BE}//\mathit{CO}$．

（1）求证： $\mathit{BC}$是 $\angle \mathit{ABE}$的平分线；

（2）若 $\mathit{DC}=8$， $\odot O$的半径 $\mathit{OA}=6$，求 $\mathit{CE}$的长．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot M$的直径， $\mathit{BC}$是 $\odot M$的切线，切点为 $B$， $C$是 $\mathit{BC}$上（除 $B$点外）的任意一点，连接 $\mathit{CM}$交 $\odot M$于点 $G$，过点 $C$作 $C\perp \mathit{BC}$交 $\mathit{BG}$的延长线于点 $D$，连接 $\mathit{AG}$并延长交 $\mathit{BC}$于点 $E$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABE}\backsim \mathit{\Delta BCD}$；

（2）若 $\mathit{MB}=\mathit{BE}=1$，求 $\mathit{CD}$的长度．

已知四边形ABCD中， $\mathit{AB}＝\mathit{AD}，$ $\mathit{AB}\perp \mathit{AD}$，连接AC，过点A作 $\mathit{AE}\perp \mathit{AC}$，且使 $\mathit{AE}＝\mathit{AC}$，连接BE，过A作 $\mathit{AH}\perp \mathit{CD}$于H交BE于F．

（1）如图1，当E在CD的延长线上时，求证： $①△\mathit{ABC}≌△\mathit{ADE}$； $\mathit{②BF}＝\mathit{EF}$；

（2）如图2，当E不在CD的延长线上时，BF＝EF还成立吗？请证明你的结论．

如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且 $\mathit{BD}＝\mathit{BC}$，延长AD到E，且有 $\angle \mathit{EBD}＝\angle \mathit{CAB}$．

（1）求证：BE是⊙O的切线；

（2）若 $\mathit{BC}=\sqrt{3}$， $\mathit{AC}=5$，求圆的直径AD及切线BE的长．

如图，在△ ABC中，点 D是 AB边上的一点．

（1）请用尺规作图法，在△ ABC内，求作∠ ADE，使∠ ADE＝∠ B， DE交 AC于 E；（不要求写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若 $\frac{\mathit{AD}}{\mathit{DB}}$ ＝2，求 $\frac{\mathit{AE}}{\mathit{EC}}$ 的值．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle C=90°$ ， $\mathit{AC}=3$ ， $\mathit{BC}=4$ ， $P$ 为 $\mathit{BC}$ 边上的动点（与 $B$ 、 $C$ 不重合）， $\mathit{PD}//\mathit{AB}$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $D$ ，连接 $\mathit{AP}$ ，设 $\mathit{CP}=x$ ， $\mathit{\Delta ADP}$ 的面积为 $S$ ．

（1）用含 $x$ 的代数式表示 $\mathit{AD}$ 的长；

（2）求 $S$ 与 $x$ 的函数表达式，并求当 $S$ 随 $x$ 增大而减小时 $x$ 的取值范围．

如图，已知 $\angle \mathit{MON}=90°$ ， $\mathit{OT}$ 是 $\angle \mathit{MON}$ 的平分线， $A$ 是射线 $\mathit{OM}$ 上一点， $\mathit{OA}=8\mathit{cm}$ ．动点 $P$ 从点 $A$ 出发，以 $1\mathit{cm}/s$ 的速度沿 $\mathit{AO}$ 水平向左作匀速运动，与此同时，动点 $Q$ 从点 $O$ 出发，也以 $1\mathit{cm}/s$ 的速度沿 $\mathit{ON}$ 竖直向上作匀速运动．连接 $\mathit{PQ}$ ，交 $\mathit{OT}$ 于点 $B$ ．经过 $O$ 、 $P$ 、 $Q$ 三点作圆，交 $\mathit{OT}$ 于点 $C$ ，连接 $\mathit{PC}$ 、 $\mathit{QC}$ ．设运动时间为 $t\left(s\right)$ ，其中 $0<t<8$ ．

（1）求 $\mathit{OP}+\mathit{OQ}$ 的值；

（2）是否存在实数 $t$ ，使得线段 $\mathit{OB}$ 的长度最大？若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，说明理由．

（3）求四边形 $\mathit{OPCQ}$ 的面积．

如图1，平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，等腰 $\mathit{\Delta ABC}$ 的底边 $\mathit{BC}$ 在 $x$ 轴上， $\mathit{BC}=8$ ，顶点 $A$ 在 $y$ 的正半轴上， $\mathit{OA}=2$ ，一动点 $E$ 从 $(3,0)$ 出发，以每秒1个单位的速度沿 $\mathit{CB}$ 向左运动，到达 $\mathit{OB}$ 的中点停止．另一动点 $F$ 从点 $C$ 出发，以相同的速度沿 $\mathit{CB}$ 向左运动，到达点 $O$ 停止．已知点 $E$ 、 $F$ 同时出发，以 $\mathit{EF}$ 为边作正方形 $\mathit{EFGH}$ ，使正方形 $\mathit{EFGH}$ 和 $\mathit{\Delta ABC}$ 在 $\mathit{BC}$ 的同侧，设运动的时间为 $t$ 秒 $(t⩾0)$ ．

（1）当点 $H$ 落在 $\mathit{AC}$ 边上时，求 $t$ 的值；

（2）设正方形 $\mathit{EFGH}$ 与 $\mathit{\Delta ABC}$ 重叠面积为 $S$ ，请问是否存在 $t$ 值，使得 $S=\frac{91}{36}$ ？若存在，求出 $t$ 值；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，取 $\mathit{AC}$ 的中点 $D$ ，连结 $\mathit{OD}$ ，当点 $E$ 、 $F$ 开始运动时，点 $M$ 从点 $O$ 出发，以每秒 $2\sqrt{5}$ 个单位的速度沿 $\mathit{OD}-\mathit{DC}-\mathit{CD}-\mathit{DO}$ 运动，到达点 $O$ 停止运动．请问在点 $E$ 的整个运动过程中，点 $M$ 可能在正方形 $\mathit{EFGH}$ 内（含边界）吗？如果可能，求出点 $M$ 在正方形 $\mathit{EFGH}$ 内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．

已知 $D$ 是 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 斜边 $\mathit{AB}$ 的中点， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ， $\angle \mathit{ABC}=30°$ ，过点 $D$ 作 $\text{Rt}\Delta \text{DEF}$ 使 $\angle \mathit{DEF}=90°$ ， $\angle \mathit{DFE}=30°$ ，连接 $\mathit{CE}$ 并延长 $\mathit{CE}$ 到 $P$ ，使 $\mathit{EP}=\mathit{CE}$ ，连接 $\mathit{BE}$ ， $\mathit{FP}$ ， $\mathit{BP}$ ，设 $\mathit{BC}$ 与 $\mathit{DE}$ 交于 $M$ ， $\mathit{PB}$ 与 $\mathit{EF}$ 交于 $N$ ．

（1）如图1，当 $D$ ， $B$ ， $F$ 共线时，求证：

① $\mathit{EB}=\mathit{EP}$ ；

② $\angle \mathit{EFP}=30°$ ；

（2）如图2，当 $D$ ， $B$ ， $F$ 不共线时，连接 $\mathit{BF}$ ，求证： $\angle \mathit{BFD}+\angle \mathit{EFP}=30°$ ．

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{CD}$在正方形 $\mathit{ECGF}$的边 $\mathit{CE}$上，连接 $\mathit{DG}$，过点 $A$作 $\mathit{AH}//\mathit{DG}$，交 $\mathit{BG}$于点 $H$．连接 $\mathit{HF}$， $\mathit{AF}$，其中 $\mathit{AF}$交 $\mathit{EC}$于点 $M$．

（1）求证： $\mathit{\Delta AHF}$为等腰直角三角形．

（2）若 $\mathit{AB}=3$， $\mathit{EC}=5$，求 $\mathit{EM}$的长．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是正方形， $\mathit{\Delta EFC}$是等腰直角三角形，点 $E$在 $\mathit{AB}$上，且 $\angle \mathit{CEF}=90°$， $\mathit{FG}\perp \mathit{AD}$，垂足为点 $G$．

（1）试判断 $\mathit{AG}$与 $\mathit{FG}$是否相等？并给出证明；

（2）若点 $H$为 $\mathit{CF}$的中点， $\mathit{GH}$与 $\mathit{DH}$垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．

（1）如图1， $E$是正方形 $\mathit{ABCD}$边 $\mathit{AB}$上的一点，连接 $\mathit{BD}$、 $\mathit{DE}$，将 $\angle \mathit{BDE}$绕点 $D$逆时针旋转 $90°$，旋转后角的两边分别与射线 $\mathit{BC}$交于点 $F$和点 $G$．

①线段 $\mathit{DB}$和 $\mathit{DG}$的数量关系是　　；

②写出线段 $\mathit{BE}$， $\mathit{BF}$和 $\mathit{DB}$之间的数量关系．

（2）当四边形 $\mathit{ABCD}$为菱形， $\angle \mathit{ADC}=60°$，点 $E$是菱形 $\mathit{ABCD}$边 $\mathit{AB}$所在直线上的一点，连接 $\mathit{BD}$、 $\mathit{DE}$，将 $\angle \mathit{BDE}$绕点 $D$逆时针旋转 $120°$，旋转后角的两边分别与射线 $\mathit{BC}$交于点 $F$和点 $G$．

①如图2，点 $E$在线段 $\mathit{AB}$上时，请探究线段 $\mathit{BE}$、 $\mathit{BF}$和 $\mathit{BD}$之间的数量关系，写出结论并给出证明；

②如图3，点 $E$在线段 $\mathit{AB}$的延长线上时， $\mathit{DE}$交射线 $\mathit{BC}$于点 $M$，若 $\mathit{BE}=1$， $\mathit{AB}=2$，直接写出线段 $\mathit{GM}$的长度．

在矩形 $\mathit{ABCD}$中，连结 $\mathit{AC}$，点 $E$从点 $B$出发，以每秒1个单位的速度沿着 $B\to A\to C$的路径运动，运动时间为 $t$（秒 $)$．过点 $E$作 $\mathit{EF}\perp \mathit{BC}$于点 $F$，在矩形 $\mathit{ABCD}$的内部作正方形 $\mathit{EFGH}$．

（1）如图，当 $\mathit{AB}=\mathit{BC}=8$时，

①若点 $H$在 $\mathit{\Delta ABC}$的内部，连结 $\mathit{AH}$、 $\mathit{CH}$，求证： $\mathit{AH}=\mathit{CH}$；

②当 $0<t⩽8$时，设正方形 $\mathit{EFGH}$与 $\mathit{\Delta ABC}$的重叠部分面积为 $S$，求 $S$与 $t$的函数关系式；

（2）当 $\mathit{AB}=6$， $\mathit{BC}=8$时，若直线 $\mathit{AH}$将矩形 $\mathit{ABCD}$的面积分成 $1:3$两部分，求 $t$的值．

在 $\mathit{\Delta ABC}$中，已知 $D$是 $\mathit{BC}$边的中点， $G$是 $\mathit{\Delta ABC}$的重心，过 $G$点的直线分别交 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$于点 $E$、 $F$．

（1）如图1，当 $\mathit{EF}//\mathit{BC}$时，求证： $\frac{\mathit{BE}}{\mathit{AE}}+\frac{\mathit{CF}}{\mathit{AF}}=1$；

（2）如图2，当 $\mathit{EF}$和 $\mathit{BC}$不平行，且点 $E$、 $F$分别在线段 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．

（3）如图3，当点 $E$在 $\mathit{AB}$的延长线上或点 $F$在 $\mathit{AC}$的延长线上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．