初中数学三角形的内切圆与内心解答题

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中，对角线相交于点 $O$， $\odot M$为 $\mathit{\Delta BCD}$的内切圆，切点分别为 $N$， $P$， $Q$， $\mathit{DN}=4$， $\mathit{BN}=6$．

（1）求 $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$；

（2）点 $H$从点 $A$出发，沿线段 $\mathit{AD}$向点 $D$以每秒3个单位长度的速度运动，当点 $H$运动到点 $D$时停止，过点 $H$作 $\mathit{HI}//\mathit{BD}$交 $\mathit{AC}$于点 $I$，设运动时间为 $t$秒．

①将 $\mathit{\Delta AHI}$沿 $\mathit{AC}$翻折得△ $\mathit{AH}\text{'}I$，是否存在时刻 $t$，使点 $H\text{'}$恰好落在边 $\mathit{BC}$上？若存在，求 $t$的值；若不存在，请说明理由；

②若点 $F$为线段 $\mathit{CD}$上的动点，当 $\mathit{\Delta OFH}$为正三角形时，求 $t$的值．

结果如此巧合 $!$

下面是小颖对一道题目的解答．

题目：如图， $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$的内切圆与斜边 $\mathit{AB}$相切于点 $D$， $\mathit{AD}=3$， $\mathit{BD}=4$，求 $\mathit{\Delta ABC}$的面积．

解：设 $\mathit{\Delta ABC}$的内切圆分别与 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$相切于点 $E$、 $F$， $\mathit{CE}$的长为 $x$．

根据切线长定理，得 $\mathit{AE}=\mathit{AD}=3$， $\mathit{BF}=\mathit{BD}=4$， $\mathit{CF}=\mathit{CE}=x$．

根据勾股定理，得 ${(x+3)}^2+{(x+4)}^2={(3+4)}^2$．

整理，得 $x^2+7x=12$．

所以 $S_{\mathit{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}\mathit{AC}·\mathit{BC}$

$=\frac{1}{2}(x+3)(x+4)$

$=\frac{1}{2}(x^2+7x+12)$

$=\frac{1}{2}\times (12+12)$

$=12$．

小颖发现12恰好就是 $3\times 4$，即 $\mathit{\Delta ABC}$的面积等于 $\mathit{AD}$与 $\mathit{BD}$的积．这仅仅是巧合吗？

请你帮她完成下面的探索．

已知： $\mathit{\Delta ABC}$的内切圆与 $\mathit{AB}$相切于点 $D$， $\mathit{AD}=m$， $\mathit{BD}=n$．

可以一般化吗？

（1）若 $\angle C=90°$，求证： $\mathit{\Delta ABC}$的面积等于 $\mathit{mn}$．

倒过来思考呢？

（2）若 $\mathit{AC}·\mathit{BC}=2\mathit{mn}$，求证 $\angle C=90°$．

改变一下条件 $\dots \dots$

（3）若 $\angle C=60°$，用 $m$、 $n$表示 $\mathit{\Delta ABC}$的面积．

问题提出

（1）如图①，是等边三角形，，若点是的内心，则的长为　　；

问题探究

（2）如图②，在矩形中，，，如果点是边上一点，且，那么边上是否存在一点，使得线段将矩形的面积平分？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．

问题解决

（3）某城市街角有一草坪，草坪是由草地和弦与其所对的劣弧围成的草地组成，如图③所示．管理员王师傅在处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水，于是，他让喷灌龙头的转角正好等于（即每次喷灌时喷灌龙头由转到，然后再转回，这样往复喷灌．同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了．

如图③，已测出，，的面积为；过弦的中点作交于点，又测得．

请你根据以上信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法？为什么？（结果保留根号或精确到0.01米）

如图，顶点为的抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．

（1）求这条抛物线对应的函数表达式；

（2）问在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点，满足，过作轴于点，设的内心为，试求的最小值．

如图，在直角三角形 $\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，点 $H$是 $\mathit{\Delta ABC}$的内心，

$\mathit{AH}$的延长线和三角形 $\mathit{ABC}$的外接圆 $O$相交于点 $D$，连接 $\mathit{DB}$．

（1）求证： $\mathit{DH}=\mathit{DB}$；

（2）过点 $D$作 $\mathit{BC}$的平行线交 $\mathit{AC}$、 $\mathit{AB}$的延长线分别于点 $E$、 $F$，已知 $\mathit{CE}=1$，圆 $O$的直径为5．

①求证： $\mathit{EF}$为圆 $O$的切线；

②求 $\mathit{DF}$的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AD}$是边 $\mathit{BC}$上的中线， $\angle \mathit{BAD}=\angle \mathit{CAD}$， $\mathit{CE}//\mathit{AD}$， $\mathit{CE}$交 $\mathit{BA}$的延长线于点 $E$， $\mathit{BC}=8$， $\mathit{AD}=3$．

（1）求 $\mathit{CE}$的长；

（2）求证： $\mathit{\Delta ABC}$为等腰三角形．

（3）求 $\mathit{\Delta ABC}$的外接圆圆心 $P$与内切圆圆心 $Q$之间的距离．

如图， $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径，且 $\mathit{AB}=4$，点 $C$在半圆上， $\mathit{OC}\perp \mathit{AB}$，垂足为点 $O$， $P$为半圆上任意一点（不与点 $C$重合），过 $P$点作 $\mathit{PE}\perp \mathit{OC}$于点 $E$，设 $\mathit{\Delta OPE}$的内心为 $M$，连接 $\mathit{OM}$、 $\mathit{PM}$．

（1）求 $\angle \mathit{OMP}$的度数；

（2）当点 $P$在半圆上从点 $B$运动到点 $A$时，求内心 $M$所经过的路径长．

已知 $\mathit{\Delta ABC}$的内切圆 $\odot O$与 $\mathit{AB}$、 $\mathit{BC}$、 $\mathit{AC}$分别相切于点 $D$、 $E$、 $F$，若 $\stackrel{̂}{\mathit{EF}}=\stackrel{̂}{\mathit{DE}}$，如图1．

（1）判断 $\mathit{\Delta ABC}$的形状，并证明你的结论；

（2）设 $\mathit{AE}$与 $\mathit{DF}$相交于点 $M$，如图2， $\mathit{AF}=2\mathit{FC}=4$，求 $\mathit{AM}$的长．

阅读下列材料并回答问题：

材料1：如果一个三角形的三边长分别为 $a$， $b$， $c$，记 $p=\frac{a+b+c}{2}$，那么三角形的面积为 $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$．    ①

古希腊几何学家海伦 $(\mathit{Heron}$，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名．他在《度量》一书中，给出了公式①和它的证明，这一公式称海伦公式．

我国南宋数学家秦九韶（约 $1202--$约 $1261)$，曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式： $S=\sqrt{\frac{1}{4}[a^2{b}^2-{\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2}\right)}^2]}$．     ②

下面我们对公式②进行变形： $\sqrt{\frac{1}{4}[a^2{b}^2-{\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2}\right)}^2]}=\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\mathit{ab}\right)}^2-{\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{4}\right)}^2}=\sqrt{(\frac{1}{2}\mathit{ab}+\frac{a^2+b^2-c^2}{4})(\frac{1}{2}\mathit{ab}-\frac{a^2+b^2-c^2}{4})}=\sqrt{\frac{2\mathit{ab}+a^2+b^2-c^2}{4}·\frac{2\mathit{ab}-a^2-b^2+c^2}{4}}=\sqrt{\frac{{(a+b)}^2-c^2}{4}·\frac{c^2-{(a-b)}^2}{4}}=\sqrt{\frac{a+b+c}{2}·\frac{a+b-c}{2}·\frac{a+c-b}{2}·\frac{b+c-a}{2}}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$．

这说明海伦公式与秦九韶公式实质上是同一公式，所以我们也称①为海伦 $--$秦九韶公式．

问题：如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=13$， $\mathit{BC}=12$， $\mathit{AC}=7$， $\odot O$内切于 $\mathit{\Delta ABC}$，切点分别是 $D$、 $E$、 $F$．

（1）求 $\mathit{\Delta ABC}$的面积；

（2）求 $\odot O$的半径．

在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点坐标为 $A(-\sqrt{3},0)$、 $B(\sqrt{3},0)$、

（1）求△ABC内切圆⊙D的半径．

（2）过点 $E（0\mathit{，﹣}1）$的直线与⊙D相切于点F（点F在第一象限），求直线EF的解析式．

（3）以（2）为条件，P为直线EF上一点，以P为圆心，以 $2\sqrt{7}$为半径作⊙P．若⊙P上存在一点到△ABC三个顶点的距离相等，求此时圆心P的坐标．

如图，点 $E$是 $\mathit{\Delta ABC}$的内心， $\mathit{AE}$的延长线交 $\mathit{BC}$于点 $F$，交 $\mathit{\Delta ABC}$的外接圆 $\odot O$于点 $D$，连接 $\mathit{BD}$，过点 $D$作直线 $\mathit{DM}$，使 $\angle \mathit{BDM}=\angle \mathit{DAC}$．

（1）求证：直线 $\mathit{DM}$是 $\odot O$的切线；

（2）求证： $D{E}^2=\mathit{DF}·\mathit{DA}$．

如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与BC相交于点F，与△ABC的外接圆相交于点D

（1）求证： $△\mathit{BFD}\backsim △\mathit{ABD}$；

（2）求证： $\mathit{DE}＝\mathit{DB}$．

已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？

古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式﹣﹣海伦公式 $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$（其中a，b，c是三角形的三边长， $p=\frac{a+b+c}{2}$，S为三角形的面积），并给出了证明

例如：在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝5，那么它的面积可以这样计算：

∵a＝3，b＝4，c＝5

∴ $p=\frac{a+b+c}{2}=6$

∴ $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{6\times 3\times 2\times 1}=6$

事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决．

根据上述材料，解答下列问题：

如图，在△ABC中，BC＝5，AC＝6，AB＝9

（1）用海伦公式求△ABC的面积；

（2）求△ABC的内切圆半径r．

如图，已知 $\mathit{\Delta ABC}$， $\angle B=40°$．

（1）在图中，用尺规作出 $\mathit{\Delta ABC}$的内切圆 $O$，并标出 $\odot O$与边 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{AC}$的切点 $D$， $E$， $F$（保留痕迹，不必写作法）；

（2）连接 $\mathit{EF}$， $\mathit{DF}$，求 $\angle \mathit{EFD}$的度数．

如图1，在△ ABC中， AB＝ AC，⊙ O是△ ABC的外接圆，过点 C作∠ BCD＝∠ ACB交⊙ O于点 D，连接 AD交 BC于点 E，延长 DC至点 F，使 CF＝ AC，连接 AF．

（1）求证： ED＝ EC；

（2）求证： AF是⊙ O的切线；

（3）如图2，若点 G是△ ACD的内心， BC• BE＝25，求 BG的长．