初中数学三角形的内切圆与内心试题

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中，对角线相交于点 $O$， $\odot M$为 $\mathit{\Delta BCD}$的内切圆，切点分别为 $N$， $P$， $Q$， $\mathit{DN}=4$， $\mathit{BN}=6$．

（1）求 $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$；

（2）点 $H$从点 $A$出发，沿线段 $\mathit{AD}$向点 $D$以每秒3个单位长度的速度运动，当点 $H$运动到点 $D$时停止，过点 $H$作 $\mathit{HI}//\mathit{BD}$交 $\mathit{AC}$于点 $I$，设运动时间为 $t$秒．

①将 $\mathit{\Delta AHI}$沿 $\mathit{AC}$翻折得△ $\mathit{AH}\text{'}I$，是否存在时刻 $t$，使点 $H\text{'}$恰好落在边 $\mathit{BC}$上？若存在，求 $t$的值；若不存在，请说明理由；

②若点 $F$为线段 $\mathit{CD}$上的动点，当 $\mathit{\Delta OFH}$为正三角形时，求 $t$的值．

问题提出

（1）如图①，是等边三角形，，若点是的内心，则的长为　　；

问题探究

（2）如图②，在矩形中，，，如果点是边上一点，且，那么边上是否存在一点，使得线段将矩形的面积平分？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．

问题解决

（3）某城市街角有一草坪，草坪是由草地和弦与其所对的劣弧围成的草地组成，如图③所示．管理员王师傅在处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水，于是，他让喷灌龙头的转角正好等于（即每次喷灌时喷灌龙头由转到，然后再转回，这样往复喷灌．同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了．

如图③，已测出，，的面积为；过弦的中点作交于点，又测得．

请你根据以上信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法？为什么？（结果保留根号或精确到0.01米）

如图，顶点为的抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．

（1）求这条抛物线对应的函数表达式；

（2）问在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点，满足，过作轴于点，设的内心为，试求的最小值．

结果如此巧合 $!$

下面是小颖对一道题目的解答．

题目：如图， $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$的内切圆与斜边 $\mathit{AB}$相切于点 $D$， $\mathit{AD}=3$， $\mathit{BD}=4$，求 $\mathit{\Delta ABC}$的面积．

解：设 $\mathit{\Delta ABC}$的内切圆分别与 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$相切于点 $E$、 $F$， $\mathit{CE}$的长为 $x$．

根据切线长定理，得 $\mathit{AE}=\mathit{AD}=3$， $\mathit{BF}=\mathit{BD}=4$， $\mathit{CF}=\mathit{CE}=x$．

根据勾股定理，得 ${(x+3)}^2+{(x+4)}^2={(3+4)}^2$．

整理，得 $x^2+7x=12$．

所以 $S_{\mathit{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}\mathit{AC}·\mathit{BC}$

$=\frac{1}{2}(x+3)(x+4)$

$=\frac{1}{2}(x^2+7x+12)$

$=\frac{1}{2}\times (12+12)$

$=12$．

小颖发现12恰好就是 $3\times 4$，即 $\mathit{\Delta ABC}$的面积等于 $\mathit{AD}$与 $\mathit{BD}$的积．这仅仅是巧合吗？

请你帮她完成下面的探索．

已知： $\mathit{\Delta ABC}$的内切圆与 $\mathit{AB}$相切于点 $D$， $\mathit{AD}=m$， $\mathit{BD}=n$．

可以一般化吗？

（1）若 $\angle C=90°$，求证： $\mathit{\Delta ABC}$的面积等于 $\mathit{mn}$．

倒过来思考呢？

（2）若 $\mathit{AC}·\mathit{BC}=2\mathit{mn}$，求证 $\angle C=90°$．

改变一下条件 $\dots \dots$

（3）若 $\angle C=60°$，用 $m$、 $n$表示 $\mathit{\Delta ABC}$的面积．

如图， $\odot O$是等边 $\mathit{\Delta ABC}$的内切圆，分别切 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{AC}$于点 $E$， $F$， $D$， $P$是 $\stackrel{̂}{\mathit{DF}}$上一点，则 $\angle \mathit{EPF}$的度数是 $($　　 $)$

A． $65°$B． $60°$C． $58°$D． $50°$

如图，已知 $\mathit{\Delta ABC}$的内切圆 $\odot O$与 $\mathit{BC}$边相切于点 $D$，连接 $\mathit{OB}$， $\mathit{OD}$．若 $\angle \mathit{ABC}=40°$，则 $\angle \mathit{BOD}$的度数是　　．

如图，已知 $\mathit{\Delta ABC}$， $\angle B=40°$．

（1）在图中，用尺规作出 $\mathit{\Delta ABC}$的内切圆 $O$，并标出 $\odot O$与边 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{AC}$的切点 $D$， $E$， $F$（保留痕迹，不必写作法）；

（2）连接 $\mathit{EF}$， $\mathit{DF}$，求 $\angle \mathit{EFD}$的度数．

如图，在直角三角形 $\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，点 $H$是 $\mathit{\Delta ABC}$的内心，

$\mathit{AH}$的延长线和三角形 $\mathit{ABC}$的外接圆 $O$相交于点 $D$，连接 $\mathit{DB}$．

（1）求证： $\mathit{DH}=\mathit{DB}$；

（2）过点 $D$作 $\mathit{BC}$的平行线交 $\mathit{AC}$、 $\mathit{AB}$的延长线分别于点 $E$、 $F$，已知 $\mathit{CE}=1$，圆 $O$的直径为5．

①求证： $\mathit{EF}$为圆 $O$的切线；

②求 $\mathit{DF}$的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AC}=3$ ， $\mathit{BC}=4$ ， $D$ 、 $E$ 分别在 $\mathit{CA}$ 、 $\mathit{CB}$ 上，点 $F$ 在 $\mathit{\Delta ABC}$ 内．若四边形 $\mathit{CDFE}$ 是边长为1的正方形，则 $\sin \angle \mathit{FBA}=$ 　　．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle C=90°$， $\mathit{AC}=3$， $\mathit{BC}=4$，则 $\mathit{\Delta ABC}$的内切圆半径 $r=$　　．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle A=66°$，点 $I$是内心，则 $\angle \mathit{BIC}$的大小为 $($　　 $)$

A． $114°$B． $122°$C． $123°$D． $132°$

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$内接于 $\odot O$，点 $I$是 $\mathit{\Delta ABC}$的内心， $\angle \mathit{AIC}=124°$，点 $E$在 $\mathit{AD}$的延长线上，则 $\angle \mathit{CDE}$的度数为 $($　　 $)$

A． $56°$B． $62°$C． $68°$D． $78°$

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中， $G$是 $\mathit{BC}$的中点，过 $A$、 $D$、 $G$三点的圆 $O$与边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{CD}$分别交于点 $E$、点 $F$，给出下列说法：（1） $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$的交点是圆 $O$的圆心；（2） $\mathit{AF}$与 $\mathit{DE}$的交点是圆 $O$的圆心；（3） $\mathit{BC}$与圆 $O$相切，其中正确说法的个数是 $($　　 $)$

A．0B．1C．2D．3

如图，在扇形 $\mathit{CAB}$中， $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$，垂足为 $D$， $\odot E$是 $\mathit{\Delta ACD}$的内切圆，连接 $\mathit{AE}$， $\mathit{BE}$，则 $\angle \mathit{AEB}$的度数为　　．

已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切圆的半径为 $($　　 $)$

A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$B． $\frac{3}{2}$C． $\sqrt{3}$D． $2\sqrt{3}$