初中数学切线的判定解答题

如图，点 $C$ 在以 $\mathit{AB}$ 为直径的 $\odot O$ 上，点 $D$ 是 $\mathit{BC}$ 的中点，连接 $\mathit{OD}$ 并延长交 $\odot O$ 于点 $E$ ，作 $\angle \mathit{EBP}=\angle \mathit{EBC}$ ， $\mathit{BP}$ 交 $\mathit{OE}$ 的延长线于点 $P$ ．

（1）求证： $\mathit{PB}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\mathit{AC}=2$ ， $\mathit{PD}=6$ ，求 $\odot O$ 的半径．

如图，在 $\odot O$ 中， $\mathit{AB}$ 是直径，弦 $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$ ，垂足为 $H$ ， $E$ 为 $\stackrel{̂}{\mathit{BC}}$ 上一点， $F$ 为弦 $\mathit{DC}$ 延长线上一点，连接 $\mathit{FE}$ 并延长交直径 $\mathit{AB}$ 的延长线于点 $G$ ，连接 $\mathit{AE}$ 交 $\mathit{CD}$ 于点 $P$ ，若 $\mathit{FE}=\mathit{FP}$ ．

（1）求证： $\mathit{FE}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\odot O$ 的半径为8， $\sin F=\frac{3}{5}$ ，求 $\mathit{BG}$ 的长．

如图，以等边三角形 $\mathit{ABC}$ 的 $\mathit{BC}$ 边为直径画圆，交 $\mathit{AC}$ 于点 $D$ ， $\mathit{DF}\perp \mathit{AB}$ 于点 $F$ ，连接 $\mathit{OF}$ ，且 $\mathit{AF}=1$ ．

（1）求证： $\mathit{DF}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）求线段 $\mathit{OF}$ 的长度．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AD}$ 是 $\mathit{BC}$ 边上的中线，以 $\mathit{AB}$ 为直径的 $\odot O$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $D$ ，过 $D$ 作 $\mathit{MN}\perp \mathit{AC}$ 于点 $M$ ，交 $\mathit{AB}$ 的延长线于点 $N$ ，过点 $B$ 作 $\mathit{BG}\perp \mathit{MN}$ 于 $G$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta BGD}\backsim \mathit{\Delta DMA}$ ；

（2）求证：直线 $\mathit{MN}$ 是 $\odot O$ 的切线．

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$ 中，对角线 $\mathit{AC}$ 、 $\mathit{BD}$ 相交于点 $M$ ， $\odot O$ 经过点 $B$ ， $C$ ，交对角线 $\mathit{BD}$ 于点 $E$ ，且 $\stackrel{̂}{\mathit{CE}}=\stackrel{̂}{\mathit{BE}}$ ，连接 $\mathit{OE}$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $F$ ．

（1）试判断 $\mathit{AB}$ 与 $\odot O$ 的位置关系，并说明理由；

（2）若 $\mathit{BD}=\frac{32}{5}\sqrt{5}$ ， $\tan \angle \mathit{CBD}=\frac{1}{2}$ ，求 $\odot O$ 的半径．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ，延长 $\mathit{CA}$ 到点 $D$ ，以 $\mathit{AD}$ 为直径作 $\odot O$ ，交 $\mathit{BA}$ 的延长线于点 $E$ ，延长 $\mathit{BC}$ 到点 $F$ ，使 $\mathit{BF}=\mathit{EF}$ ．

（1）求证： $\mathit{EF}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\mathit{OC}=9$ ， $\mathit{AC}=4$ ， $\mathit{AE}=8$ ，求 $\mathit{BF}$ 的长．

如图1，四边形 $\mathit{ABCD}$ 内接于 $\odot O$ ， $\mathit{AD}$ 为直径，点 $C$ 作 $\mathit{CE}\perp \mathit{AB}$ 于点 $E$ ，连接 $\mathit{AC}$ ．

（1）求证： $\angle \mathit{CAD}=\angle \mathit{ECB}$ ；

（2）若 $\mathit{CE}$ 是 $\odot O$ 的切线， $\angle \mathit{CAD}=30°$ ，连接 $\mathit{OC}$ ，如图2．

①请判断四边形 $\mathit{ABCO}$ 的形状，并说明理由；

②当 $\mathit{AB}=2$ 时，求 $\mathit{AD}$ ， $\mathit{AC}$ 与 $\stackrel{̂}{\mathit{CD}}$ 围成阴影部分的面积．

如图， $O$ 为线段 $\mathit{PB}$ 上一点，以 $O$ 为圆心， $\mathit{OB}$ 长为半径的 $\odot O$ 交 $\mathit{PB}$ 于点 $A$ ，点 $C$ 在 $\odot O$ 上，连接 $\mathit{PC}$ ，满足 $P{C}^2=\mathit{PA}\cdot \mathit{PB}$ ．

（1）求证： $\mathit{PC}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\mathit{AB}=3\mathit{PA}$ ，求 $\frac{\mathit{AC}}{\mathit{BC}}$ 的值．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{AOB}$ 中， $\angle \mathit{AOB}=90°$ ，以点 $O$ 为圆心， $\mathit{OA}$ 为半径的圆交 $\mathit{AB}$ 于点 $C$ ，点 $D$ 在边 $\mathit{OB}$ 上，且 $\mathit{CD}=\mathit{BD}$ ．

（1）判断直线 $\mathit{CD}$ 与 $\odot O$ 的位置关系，并说明理由；

（2）已知 $\tan \angle \mathit{ODC}=\frac{24}{7}$ ， $\mathit{AB}=40$ ，求 $\odot O$ 的半径．

如图，已知 $P$ 是 $\odot O$ 外一点．用两种不同的方法过点 $P$ 作 $\odot O$ 的一条切线．

要求：（1）用直尺和圆规作图；

（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．

如图， $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{ABC}=90°$ ，以点 $C$ 为圆心， $\mathit{CB}$ 为半径作 $\odot C$ ， $D$ 为 $\odot C$ 上一点，连接 $\mathit{AD}$ 、 $\mathit{CD}$ ， $\mathit{AB}=\mathit{AD}$ ， $\mathit{AC}$ 平分 $\angle \mathit{BAD}$ ．

（1）求证： $\mathit{AD}$ 是 $\odot C$ 的切线；

（2）延长 $\mathit{AD}$ 、 $\mathit{BC}$ 相交于点 $E$ ，若 $S_{\mathit{\Delta EDC}}=2S_{\mathit{\Delta ABC}}$ ，求 $\tan \angle \mathit{BAC}$ 的值．

如图所示， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径，点 $C$ 、 $D$ 是 $\odot O$ 上不同的两点，直线 $\mathit{BD}$ 交线段 $\mathit{OC}$ 于点 $E$ 、交过点 $C$ 的直线 $\mathit{CF}$ 于点 $F$ ，若 $\mathit{OC}=3\mathit{CE}$ ，且 $9(E{F}^2-C{F}^2)=O{C}^2$ ．

（1）求证：直线 $\mathit{CF}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）连接 $\mathit{OD}$ 、 $\mathit{AD}$ 、 $\mathit{AC}$ 、 $\mathit{DC}$ ，若 $\angle \mathit{COD}=2\angle \mathit{BOC}$ ．

①求证： $\mathit{\Delta ACD}\backsim \mathit{\Delta OBE}$ ；

②过点 $E$ 作 $\mathit{EG}//\mathit{AB}$ ，交线段 $\mathit{AC}$ 于点 $G$ ，点 $M$ 为线段 $\mathit{AC}$ 的中点，若 $\mathit{AD}=4$ ，求线段 $\mathit{MG}$ 的长度．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{AOB}$ 中， $\angle \mathit{ABO}=90°$ ， $\angle \mathit{OAB}=30°$ ，以点 $O$ 为圆心， $\mathit{OB}$ 为半径的圆交 $\mathit{BO}$ 的延长线于点 $C$ ，过点 $C$ 作 $\mathit{OA}$ 的平行线，交 $\odot O$ 于点 $D$ ，连接 $\mathit{AD}$ ．

（1）求证： $\mathit{AD}$ 为 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\mathit{OB}=2$ ，求弧 $\mathit{CD}$ 的长．

如图1， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径，点 $E$ 是 $\odot O$ 上一动点，且不与 $A$ ， $B$ 两点重合， $\angle \mathit{EAB}$ 的平分线交 $\odot O$ 于点 $C$ ，过点 $C$ 作 $\mathit{CD}\perp \mathit{AE}$ ，交 $\mathit{AE}$ 的延长线于点 $D$ ．

（1）求证： $\mathit{CD}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）求证： $A{C}^2=2\mathit{AD}\cdot \mathit{AO}$ ；

（3）如图2，原有条件不变，连接 $\mathit{BE}$ ， $\mathit{BC}$ ，延长 $\mathit{AB}$ 至点 $M$ ， $\angle \mathit{EBM}$ 的平分线交 $\mathit{AC}$ 的延长线于点 $P$ ， $\angle \mathit{CAB}$ 的平分线交 $\angle \mathit{CBM}$ 的平分线于点 $Q$ ．求证：无论点 $E$ 如何运动，总有 $\angle P=\angle Q$ ．

如图，点 $A$ 在以 $\mathit{BC}$ 为直径的 $\odot O$ 上， $\angle \mathit{ABC}$ 的角平分线与 $\mathit{AC}$ 相交于点 $E$ ，与 $\odot O$ 相交于点 $D$ ，延长 $\mathit{CA}$ 至 $M$ ，连结 $\mathit{BM}$ ，使得 $\mathit{MB}=\mathit{ME}$ ，过点 $A$ 作 $\mathit{BM}$ 的平行线与 $\mathit{CD}$ 的延长线交于点 $N$ ．

（1）求证： $\mathit{BM}$ 与 $\odot O$ 相切；

（2）试给出 $\mathit{AC}$ 、 $\mathit{AD}$ 、 $\mathit{CN}$ 之间的数量关系，并予以证明．