如图1， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径，点 $E$ 是 $\odot O$ 上一动点，且不与 $A$ ， $B$ 两点重合， $\angle \mathit{EAB}$ 的平分线交 $\odot O$ 于点 $C$ ，过点 $C$ 作 $\mathit{CD}\perp \mathit{AE}$ ，交 $\mathit{AE}$ 的延长线于点 $D$ ．

（1）求证： $\mathit{CD}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）求证： $A{C}^2=2\mathit{AD}\cdot \mathit{AO}$ ；

（3）如图2，原有条件不变，连接 $\mathit{BE}$ ， $\mathit{BC}$ ，延长 $\mathit{AB}$ 至点 $M$ ， $\angle \mathit{EBM}$ 的平分线交 $\mathit{AC}$ 的延长线于点 $P$ ， $\angle \mathit{CAB}$ 的平分线交 $\angle \mathit{CBM}$ 的平分线于点 $Q$ ．求证：无论点 $E$ 如何运动，总有 $\angle P=\angle Q$ ．