如图1，AB是⊙O的直径，点E是⊙O上一动点，且不与A，B两

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如图1， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $E$ 是 $⊙ O$ 上一动点，且不与 $A$ ， $B$ 两点重合， $∠ EAB$ 的平分线交 $⊙ O$ 于点 $C$ ，过点 $C$ 作 $CD ⊥ AE$ ，交 $AE$ 的延长线于点 $D$ ．

（1）求证： $CD$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）求证： $A C^{2} = 2 AD \cdot AO$ ；

（3）如图2，原有条件不变，连接 $BE$ ， $BC$ ，延长 $AB$ 至点 $M$ ， $∠ EBM$ 的平分线交 $AC$ 的延长线于点 $P$ ， $∠ CAB$ 的平分线交 $∠ CBM$ 的平分线于点 $Q$ ．求证：无论点 $E$ 如何运动，总有 $∠ P = ∠ Q$ ．

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