如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC 、 BD 相交于点 M , ⊙ O 经过点 B , C ,交对角线 BD 于点 E ,且 CE ̂ = BE ̂ ,连接 OE 交 BC 于点 F .
(1)试判断 AB 与 ⊙ O 的位置关系,并说明理由;
(2)若 BD = 32 5 5 , tan ∠ CBD = 1 2 ,求 ⊙ O 的半径.
如图,已知抛物线 y = a x 2 + 2 x + 6 ( a ≠ 0 ) 交 x 轴与 A , B 两点(点 A 在点 B 左侧),将直尺 WXYZ 与 x 轴负方向成 45 ° 放置,边 WZ 经过抛物线上的点 C ( 4 , m ) ,与抛物线的另一交点为点 D ,直尺被 x 轴截得的线段 EF = 2 ,且 ΔCEF 的面积为6.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)探究:在直线 AC 上方的抛物线上是否存在一点 P ,使得 ΔACP 的面积最大?若存在,请求出面积的最大值及此时点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)将直尺以每秒2个单位的速度沿 x 轴向左平移,设平移的时间为 t 秒,平移后的直尺为 W ' X ' Y ' Z ' ,其中边 X ' Y ' 所在的直线与 x 轴交于点 M ,与抛物线的其中一个交点为点 N ,请直接写出当 t 为何值时,可使得以 C 、 D 、 M 、 N 为顶点的四边形是平行四边形.
ΔABC 中, ∠ BAC = 90 ° , AB = AC ,点 D 为直线 BC 上一动点(点 D 不与 B , C 重合),以 AD 为边在 AD 右侧作正方形 ADEF ,连接 CF .
(1)观察猜想
如图1,当点 D 在线段 BC 上时,
① BC 与 CF 的位置关系为: .
② BC , CD , CF 之间的数量关系为: ;(将结论直接写在横线上)
(2)数学思考
如图2,当点 D 在线段 CB 的延长线上时,结论①,②是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请你写出正确结论再给予证明.
(3)拓展延伸
如图3,当点 D 在线段 BC 的延长线上时,延长 BA 交 CF 于点 G ,连接 GE .若已知 AB = 2 2 , CD = 1 4 BC ,请求出 GE 的长.
如图,已知 AB 为半圆 O 的直径, C 为半圆 O 上一点,连接 AC , BC ,过点 O 作 OD ⊥ AC 于点 D ,过点 A 作半圆 O 的切线交 OD 的延长线于点 E ,连接 BD 并延长交 AE 于点 F .
(1)求证: AE · BC = AD · AB ;
(2)若半圆 O 的直径为10, sin ∠ BAC = 3 5 ,求 AF 的长.
如图,在一条笔直的东西向海岸线 l 上有一长为 1 . 5 km 的码头 MN 和灯塔 C ,灯塔 C 距码头的东端 N 有 20 km .一轮船以 36 km / h 的速度航行,上午 10 : 00 在 A 处测得灯塔 C 位于轮船的北偏西 30 ° 方向,上午 10 : 40 在 B 处测得灯塔 C 位于轮船的北偏东 60 ° 方向,且与灯塔 C 相距 12 km .
(1)若轮船照此速度与航向航行,何时到达海岸线?
(2)若轮船不改变航向,该轮船能否停靠在码头?请说明理由.(参考数据: 2 ≈ 1 . 4 , 3 ≈ 1 . 7 )
如图,在 ▱ ABCD 中,已知 AD > AB .
(1)实践与操作:作 ∠ BAD 的平分线交 BC 于点 E ,在 AD 上截取 AF = AB ,连接 EF ;(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
(2)猜想并证明:猜想四边形 ABEF 的形状,并给予证明.