初中数学圆周角定理解答题

如图，在半径为 $5\mathit{cm}$ 的 $\odot O$ 中， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径， $\mathit{CD}$ 是过 $\odot O$ 上一点 $C$ 的直线，且 $\mathit{AD}\perp \mathit{DC}$ 于点 $D$ ， $\mathit{AC}$ 平分 $\angle \mathit{BAD}$ ， $E$ 是 $\mathit{BC}$ 的中点， $\mathit{OE}=3\mathit{cm}$ ．

（1）求证： $\mathit{CD}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）求 $\mathit{AD}$ 的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $O$是边 $\mathit{AC}$上一点，以 $O$为圆心， $\mathit{OA}$为半径的圆分别交 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$于点 $E$， $D$，在 $\mathit{BC}$的延长线上取点 $F$，使得 $\mathit{BF}=\mathit{EF}$， $\mathit{EF}$与 $\mathit{AC}$交于点 $G$．

（1）试判断直线 $\mathit{EF}$与 $\odot O$的位置关系，并说明理由；

（2）若 $\mathit{OA}=2$， $\angle A=30°$，求图中阴影部分的面积．

如图，已知 $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，过 $O$点作 $\mathit{OP}\perp \mathit{AB}$，交弦 $\mathit{AC}$于点 $D$，交 $\odot O$于点 $E$，且使 $\angle \mathit{PCA}=\angle \mathit{ABC}$．

（1）求证： $\mathit{PC}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\angle P=60°$， $\mathit{PC}=2$，求 $\mathit{PE}$的长．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{BC}$是 $\odot O$的弦，直线 $\mathit{MN}$与 $\odot O$相切于点 $C$，过点 $B$作 $\mathit{BD}\perp \mathit{MN}$于点 $D$．

（1）求证： $\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{CBD}$；

（2）若 $\mathit{BC}=4\sqrt{5}$， $\mathit{CD}=4$，则 $\odot O$的半径是　　．

如图， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径， $D$ 为 $\odot O$ 上一点， $E$ 为 $\stackrel{̂}{\mathit{BD}}$ 的中点，点 $C$ 在 $\mathit{BA}$ 的延长线上，且 $\angle \mathit{CDA}=\angle B$ ．

（1）求证： $\mathit{CD}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\mathit{DE}=2$ ， $\angle \mathit{BDE}=30°$ ，求 $\mathit{CD}$ 的长．

如图， $\mathit{BE}$是 $\odot O$的直径，点 $A$和点 $D$是 $\odot O$上的两点，连接 $\mathit{AE}$， $\mathit{AD}$， $\mathit{DE}$，过点 $A$作射线交 $\mathit{BE}$的延长线于点 $C$，使 $\angle \mathit{EAC}=\angle \mathit{EDA}$．

（1）求证： $\mathit{AC}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{CE}=\mathit{AE}=2\sqrt{3}$，求阴影部分的面积．

如图，在方格纸中，点 $A$， $B$， $P$都在格点上．请按要求画出以 $\mathit{AB}$为边的格点四边形，使 $P$在四边形内部（不包括边界上），且 $P$到四边形的两个顶点的距离相等．

（1）在图甲中画出一个 $▱\mathit{ABCD}$．

（2）在图乙中画出一个四边形 $\mathit{ABCD}$，使 $\angle D=90°$，且 $\angle A\ne 90°$．（注：图甲、乙在答题纸上）

如图，已知 $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，点 $P$为圆上一点，点 $C$为 $\mathit{AB}$延长线上一点， $\mathit{PA}=\mathit{PC}$， $\angle C=30°$．

（1）求证： $\mathit{CP}$是 $\odot O$的切线．

（2）若 $\odot O$的直径为8，求阴影部分的面积．

如图，已知 $\odot O$的直径 $\mathit{CD}=6$， $A$， $B$为圆周上两点，且四边形 $\mathit{OABC}$是平行四边形，过 $A$点作直线 $\mathit{EF}//\mathit{BD}$，分别交 $\mathit{CD}$， $\mathit{CB}$的延长线于点 $E$， $F$， $\mathit{AO}$与 $\mathit{BD}$交于 $G$点．

（1）求证： $\mathit{EF}$是 $\odot O$的切线；

（2）求 $\mathit{AE}$的长．

如图，线段 $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径，点 $C$， $E$在 $\odot O$上， $\stackrel{̂}{\mathit{BC}}=\stackrel{̂}{\mathit{CE}}$， $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$，垂足为点 $D$，连接 $\mathit{BE}$，弦 $\mathit{BE}$与线段 $\mathit{CD}$相交于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{CF}=\mathit{BF}$；

（2）若 $\cos \angle \mathit{ABE}=\frac{4}{5}$，在 $\mathit{AB}$的延长线上取一点 $M$，使 $\mathit{BM}=4$， $\odot O$的半径为6．求证：直线 $\mathit{CM}$是 $\odot O$的切线．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $D$是 $\mathit{AC}$上一点，过 $B$， $C$， $D$三点的 $\odot O$交 $\mathit{AB}$于点 $E$，连接 $\mathit{ED}$， $\mathit{EC}$，点 $F$是线段 $\mathit{AE}$上的一点，连接 $\mathit{FD}$，其中 $\angle \mathit{FDE}=\angle \mathit{DCE}$．

（1）求证： $\mathit{DF}$是 $\odot O$的切线．

（2）若 $D$是 $\mathit{AC}$的中点， $\angle A=30°$， $\mathit{BC}=4$，求 $\mathit{DF}$的长．

如图1，四边形 $\mathit{ABCD}$内接于 $\odot O$， $\mathit{AC}$是 $\odot O$的直径，过点 $A$的切线与 $\mathit{CD}$的延长线相交于点 $P$．且 $\angle \mathit{APC}=\angle \mathit{BCP}$

（1）求证： $\angle \mathit{BAC}=2\angle \mathit{ACD}$；

（2）过图1中的点 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$，垂足为 $E$（如图 $2)$，当 $\mathit{BC}=6$， $\mathit{AE}=2$时，求 $\odot O$的半径．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ， $\mathit{AD}$ 是 $\angle \mathit{BAC}$ 的平分线，以 $\mathit{AD}$ 为直径的 $\odot O$ 交 $\mathit{AB}$ 边于点 $E$ ，连接 $\mathit{CE}$ ，过点 $D$ 作 $\mathit{DF}//\mathit{CE}$ ，交 $\mathit{AB}$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $\mathit{DF}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\mathit{BD}=5$ ， $\sin \angle B=\frac{3}{5}$ ，求线段 $\mathit{DF}$ 的长．

如图， $C$， $D$为 $\odot O$上两点，且在直径 $\mathit{AB}$两侧，连结 $\mathit{CD}$交 $\mathit{AB}$于点 $E$， $G$是 $\stackrel{̂}{\mathit{AC}}$上一点， $\angle \mathit{ADC}=\angle G$．

（1）求证： $\angle 1=\angle 2$．

（2）点 $C$关于 $\mathit{DG}$的对称点为 $F$，连结 $\mathit{CF}$．当点 $F$落在直径 $\mathit{AB}$上时， $\mathit{CF}=10$， $\tan \angle 1=\frac{2}{5}$，求 $\odot O$的半径．

如图，已知 $\mathit{AB}$、 $\mathit{CD}$为 $\odot O$的两条直径， $\mathit{DF}$为切线，过 $\mathit{AO}$上一点 $N$作 $\mathit{NM}\perp \mathit{DF}$于 $M$，连接 $\mathit{DN}$并延长交 $\odot O$于点 $E$，连接 $\mathit{CE}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta DMN}\backsim \mathit{\Delta CED}$．

（2）设 $G$为点 $E$关于 $\mathit{AB}$对称点，连接 $\mathit{GD}$、 $\mathit{GN}$，如果 $\angle \mathit{DNO}=45°$， $\odot O$的半径为3，求 $D{N}^2+G{N}^2$的值．