如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，直线MN与⊙O相切于

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更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度中等
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如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $BC$ 是 $⊙ O$ 的弦，直线 $MN$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $C$ ，过点 $B$ 作 $BD ⊥ MN$ 于点 $D$ ．

（1）求证： $∠ ABC = ∠ CBD$ ；

（2）若 $BC = 4 \sqrt{5}$ ， $CD = 4$ ，则 $⊙ O$ 的半径是　　．

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计算： ${(\frac{1}{3})}^{- 1} - 2 \cos 30 ° + | - \sqrt{3} | - {(4 - π)}^{0}$ ．

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平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $G : y = a x^{2} + bx + c (0 < a < 12)$ 过点 $A (1, c - 5 a)$ ， $B (x_{1}$ ， $3)$ ， $C (x_{2}$ ， $3)$ ．顶点 $D$ 不在第一象限，线段 $BC$ 上有一点 $E$ ，设 $ΔOBE$ 的面积为 $S_{1}$ ， $ΔOCE$ 的面积为 $S_{2}$ ， $S_{1} = S_{2} + \frac{3}{2}$ ．

（1）用含 $a$ 的式子表示 $b$ ；

（2）求点 $E$ 的坐标：

（3）若直线 $DE$ 与抛物线 $G$ 的另一个交点 $F$ 的横坐标为 $\frac{6}{a} + 3$ ，求 $y = a x^{2} + bx + c$ 在 $1 < x < 6$ 时的取值范围（用含 $a$ 的式子表示）．

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如图， $⊙ O$ 为等边 $ΔABC$ 的外接圆，半径为2，点 $D$ 在劣弧 $\hat{AB}$ 上运动（不与点 $A$ ， $B$ 重合），连接 $DA$ ， $DB$ ， $DC$ ．

（1）求证： $DC$ 是 $∠ ADB$ 的平分线；

（2）四边形 $ADBC$ 的面积 $S$ 是线段 $DC$ 的长 $x$ 的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；

（3）若点 $M$ ， $N$ 分别在线段 $CA$ ， $CB$ 上运动（不含端点），经过探究发现，点 $D$ 运动到每一个确定的位置， $ΔDMN$ 的周长有最小值 $t$ ，随着点 $D$ 的运动， $t$ 的值会发生变化，求所有 $t$ 值中的最大值．

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如图， $ΔABD$ 中， $∠ ABD = ∠ ADB$ ．

（1）作点 $A$ 关于 $BD$ 的对称点 $C$ ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）所作的图中，连接 $BC$ ， $DC$ ，连接 $AC$ ，交 $BD$ 于点 $O$ ．

①求证：四边形 $ABCD$ 是菱形；

②取 $BC$ 的中点 $E$ ，连接 $OE$ ，若 $OE = \frac{13}{2}$ ， $BD = 10$ ，求点 $E$ 到 $AD$ 的距离．

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粤港澳大湾区自动驾驶产业联盟积极推进自动驾驶出租车应用落地工作，无人化是自动驾驶的终极目标．某公交集团拟在今明两年共投资9000万元改装260辆无人驾驶出租车投放市场．今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是50万元，预计明年每辆无人驾驶出租车的改装费用可下降 $50 %$ ．

（1）求明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是多少万元；

（2）求明年改装的无人驾驶出租车是多少辆．

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