初中数学垂径定理解答题

已知：如图，以等边 $\mathit{\Delta ABC}$的边 $\mathit{BC}$为直径作 $\odot O$，分别交 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$于点 $D$， $E$，过点 $D$作 $\mathit{DF}\perp \mathit{AC}$交 $\mathit{AC}$于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{DF}$是 $\odot O$的切线；

（2）若等边 $\mathit{\Delta ABC}$的边长为8，求由 $\stackrel{̂}{\mathit{DE}}$、 $\mathit{DF}$、 $\mathit{EF}$围成的阴影部分面积．

如图， $A$， $B$是 $\odot O$上两点，且 $\mathit{AB}=\mathit{OA}$，连接 $\mathit{OB}$并延长到点 $C$，使 $\mathit{BC}=\mathit{OB}$，连接 $\mathit{AC}$．

（1）求证： $\mathit{AC}$是 $\odot O$的切线；

（2）点 $D$， $E$分别是 $\mathit{AC}$， $\mathit{OA}$的中点， $\mathit{DE}$所在直线交 $\odot O$于点 $F$， $G$， $\mathit{OA}=4$，求 $\mathit{GF}$的长．

如图， $\mathit{BD}$为 $\mathit{\Delta ABC}$外接圆 $\odot O$的直径，且 $\angle \mathit{BAE}=\angle C$．

（1）求证： $\mathit{AE}$与 $\odot O$相切于点 $A$；

（2）若 $\mathit{AE}//\mathit{BC}$， $\mathit{BC}=2\sqrt{7}$， $\mathit{AC}=2\sqrt{2}$，求 $\mathit{AD}$的长．

如图，在 $\odot O$中， $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径， $C$为 $\odot O$上一点， $P$是 $\stackrel{̂}{\mathit{BC}}$的中点，过点 $P$作 $\mathit{AC}$的垂线，交 $\mathit{AC}$的延长线于点 $D$，连接 $\mathit{OP}$．

（1）求证： $\mathit{DP}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AC}=5$， $\sin \angle \mathit{APC}=\frac{5}{13}$，求 $\mathit{AP}$的长．

如图， $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径， $C$为 $\odot O$上一点， $\mathit{AD}$和过点 $C$的切线互相垂直，垂足为 $D$，且交 $\odot O$于点 $E$．连接 $\mathit{OC}$， $\mathit{BE}$，相交于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{EF}=\mathit{BF}$；

（2）若 $\mathit{DC}=4$， $\mathit{DE}=2$，求直径 $\mathit{AB}$的长．

如图， $\mathit{AB}$是半圆 $\mathit{AOB}$的直径， $C$是半圆上的一点， $\mathit{AD}$平分 $\angle \mathit{BAC}$交半圆于点 $D$，过点 $D$作 $\mathit{DH}\perp \mathit{AC}$与 $\mathit{AC}$的延长线交于点 $H$．

（1）求证： $\mathit{DH}$是半圆的切线；

（2）若 $\mathit{DH}=2\sqrt{5}$， $\sin \angle \mathit{BAC}=\frac{\sqrt{5}}{3}$，求半圆的直径．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{AC}$与 $\odot O$交于点 $F$，弦 $\mathit{AD}$平分 $\angle \mathit{BAC}$， $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$，垂足为 $E$．

（1）试判断直线 $\mathit{DE}$与 $\odot O$的位置关系，并说明理由；

（2）若 $\odot O$的半径为2， $\angle \mathit{BAC}=60°$，求线段 $\mathit{EF}$的长．

如图，在 $\odot O$中，弦 $\mathit{AB}$与直径 $\mathit{CD}$垂直，垂足为 $M$， $\mathit{CD}$的延长线上有

一点 $P$，满足 $\angle \mathit{PBD}=\angle \mathit{DAB}$．过点 $P$作 $\mathit{PN}\perp \mathit{CD}$，交 $\mathit{OA}$的延长线于点 $N$，连接 $\mathit{DN}$交 $\mathit{AP}$于点 $H$．

（1）求证： $\mathit{BP}$是 $\odot O$的切线；

（2）如果 $\mathit{OA}=5$， $\mathit{AM}=4$，求 $\mathit{PN}$的值；

（3）如果 $\mathit{PD}=\mathit{PH}$，求证： $\mathit{AH}·\mathit{OP}=\mathit{HP}·\mathit{AP}$．

如图，已知 $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $C$， $D$是 $\odot O$上的点， $\mathit{OC}//\mathit{BD}$，交 $\mathit{AD}$于点 $E$，连接 $\mathit{BC}$．

（1）求证： $\mathit{AE}=\mathit{ED}$；

（2）若 $\mathit{AB}=10$， $\angle \mathit{CBD}=36°$，求 $\stackrel{̂}{\mathit{AC}}$的长．

如图，在 $\odot O$中，直径 $\mathit{AB}$经过弦 $\mathit{CD}$的中点 $E$，点 $M$在 $\mathit{OD}$上， $\mathit{AM}$的延长线交 $\odot O$于点 $G$，交过 $D$的直线于 $F$， $\angle 1=\angle 2$，连接 $\mathit{BD}$与 $\mathit{CG}$交于点 $N$．

（1）求证： $\mathit{DF}$是 $\odot O$的切线；

（2）若点 $M$是 $\mathit{OD}$的中点， $\odot O$的半径为3， $\tan \angle \mathit{BOD}=2\sqrt{2}$，求 $\mathit{BN}$的长．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的弦，过 $\mathit{AB}$的中点 $E$作 $\mathit{EC}\perp \mathit{OA}$，垂足为 $C$，过点 $B$作直线 $\mathit{BD}$交 $\mathit{CE}$的延长线于点 $D$，使得 $\mathit{DB}=\mathit{DE}$．

（1）求证： $\mathit{BD}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AB}=12$， $\mathit{DB}=5$，求 $\mathit{\Delta AOB}$的面积．

如图，已知 $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径， $\angle \mathit{ACD}$ 是 $\widehat{\mathit{AD}}$ 所对的圆周角， $\angle \mathit{ACD}=30°$ ．

（1）求 $\angle \mathit{DAB}$ 的度数；

（2）过点 $D$ 作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$ ，垂足为 $E$ ， $\mathit{DE}$ 的延长线交 $\odot O$ 于点 $F$ ．若 $\mathit{AB}=4$ ，求 $\mathit{DF}$ 的长．

如图，已知： $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，点 $C$在 $\odot O$上， $\mathit{CD}$是 $\odot O$的切线， $\mathit{AD}\perp \mathit{CD}$于点 $D$， $E$是 $\mathit{AB}$延长线上一点， $\mathit{CE}$交 $\odot O$于点 $F$，连接 $\mathit{OC}$、 $\mathit{AC}$．

（1）求证： $\mathit{AC}$平分 $\angle \mathit{DAO}$．

（2）若 $\angle \mathit{DAO}=105°$， $\angle E=30°$

①求 $\angle \mathit{OCE}$的度数；

②若 $\odot O$的半径为 $2\sqrt{2}$，求线段 $\mathit{EF}$的长．

如图1，已知 $\odot O$是 $\mathit{\Delta ADB}$的外接圆， $\angle \mathit{ADB}$的平分线 $\mathit{DC}$交 $\mathit{AB}$于点 $M$，交 $\odot O$于点 $C$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$．

（1）求证： $\mathit{AC}=\mathit{BC}$；

（2）如图2，在图1的基础上做 $\odot O$的直径 $\mathit{CF}$交 $\mathit{AB}$于点 $E$，连接 $\mathit{AF}$，过点 $A$做 $\odot O$的切线 $\mathit{AH}$，若 $\mathit{AH}//\mathit{BC}$，求 $\angle \mathit{ACF}$的度数；

（3）在（2）的条件下，若 $\mathit{\Delta ABD}$的面积为 $6\sqrt{3}$， $\mathit{\Delta ABD}$与 $\mathit{\Delta ABC}$的面积比为 $2:9$，求 $\mathit{CD}$的长．

如图， $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径，弦 $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$，垂足为点 $P$，直线 $\mathit{BF}$与 $\mathit{AD}$的延长线交于点 $F$，且 $\angle \mathit{AFB}=\angle \mathit{ABC}$．

（1）求证：直线 $\mathit{BF}$是 $\odot O$的切线．

（2）若 $\mathit{CD}=2\sqrt{3}$， $\mathit{OP}=1$，求线段 $\mathit{BF}$的长．