初中数学圆试题

如图，四边形ABHK是边长为6的正方形，点C、D在边AB上，且AC=DB=1，点P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP，E、F分别为MN、QR的中点，连接EF，设EF的中点为G，则当点P从点C运动到点D时，点G移动的路径长为         

（本题8分）如图，在□ABCD中，、是、的中点，、的延长线分别交、的延长线于、；

（1）求证：BH=AB；
（2）若四边形为菱形，试判断与的大小，并证明你的结论．

如图1，矩形ABCD中，AB=2，BC=6，点P、Q分别是线段AD和线段BC上的动点，满足∠PQB=60°．
（1）填空：①∠ACB=        度；②PQ=         ．
（2）设线段BC的中点为N，PQ与线段AC相交于点M，若△CMN为直角三角形，请直接写出满足条件的AP的长度．
（3）设AP=x，△PBQ与△ABC的重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和自变量x的取值范围．

如图，在平面直角坐标系中， $\odot M$ 经过原点 $O$ ，分别交 $x$ 轴、 $y$ 轴于点 $A(2,0)$ ， $B(0,8)$ ，连结 $\mathit{AB}$ ．直线 $\mathit{CM}$ 分别交 $\odot M$ 于点 $D$ ， $E$ （点 $D$ 在左侧），交 $x$ 轴于点 $C(17,0)$ ，连结 $\mathit{AE}$ ．

（1）求 $\odot M$ 的半径和直线 $\mathit{CM}$ 的函数表达式；

（2）求点 $D$ ， $E$ 的坐标；

（3）点 $P$ 在线段 $\mathit{AC}$ 上，连结 $\mathit{PE}$ ．当 $\angle \mathit{AEP}$ 与 $\mathit{\Delta OBD}$ 的一个内角相等时，求所有满足条件的 $\mathit{OP}$ 的长．

如图，点 $D$ 在以 $\mathit{AB}$ 为直径的 $\odot O$ 上，过 $D$ 作 $\odot O$ 的切线交 $\mathit{AB}$ 延长线于点 $C$ ， $\mathit{AE}\perp \mathit{CD}$ 于点 $E$ ，交 $\odot O$ 于点 $F$ ，连接 $\mathit{AD}$ ， $\mathit{FD}$ ．

（1）求证： $\angle \mathit{DAE}=\angle \mathit{DAC}$ ；

（2）求证： $\mathit{DF}\cdot \mathit{AC}=\mathit{AD}\cdot \mathit{DC}$ ；

（3）若 $\sin \angle C=\frac{1}{4}$ ， $\mathit{AD}=4\sqrt{10}$ ，求 $\mathit{EF}$ 的长．

如图，在平面直角坐标系中，四边形 $\mathit{ABCD}$是以 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot M$的内接四边形，点 $A$， $B$在 $x$轴上， $\mathit{\Delta MBC}$是边长为2的等边三角形，过点 $M$作直线 $l$与 $x$轴垂直，交 $\odot M$于点 $E$，垂足为点 $M$，且点 $D$平分 $\stackrel{̂}{\mathit{AC}}$．

（1）求过 $A$， $B$， $E$三点的抛物线的解析式；

（2）求证：四边形 $\mathit{AMCD}$是菱形；

（3）请问在抛物线上是否存在一点 $P$，使得 $\mathit{\Delta ABP}$的面积等于定值5？若存在，请求出所有的点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在边长为6的等边 $\mathit{\Delta ABC}$中，点 $E$， $F$分别是边 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$上的动点，且 $\mathit{AE}=\mathit{CF}$，连接 $\mathit{BE}$， $\mathit{AF}$交于点 $P$，连接 $\mathit{CP}$，则 $\mathit{CP}$的最小值为 　　．

如图①，在平面直角坐标系中，圆心为 $P(x,y)$的动圆经过点 $A(1,2)$且与 $x$轴相切于点 $B$．

（1）当 $x=2$时，求 $\odot P$的半径；

（2）求 $y$关于 $x$的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象；

（3）请类比圆的定义（圆可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合），给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到　　的距离等于到　　的距离的所有点的集合．

（4）当 $\odot P$的半径为1时，若 $\odot P$与以上（2）中所得函数图象相交于点 $C$、 $D$，其中交点 $D(m,n)$在点 $C$的右侧，请利用图②，求 $\cos \angle \mathit{APD}$的大小．

如图，直线 $y=-2x+2$ 与坐标轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，点 $P$ 是线段 $\mathit{AB}$ 上的一个动点，过点 $P$ 作 $y$ 轴的平行线交直线 $y=-x+3$ 于点 $Q$ ， $\mathit{\Delta OPQ}$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $45°$ ，边 $\mathit{PQ}$ 扫过区域（阴影部分）面积的最大值是 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{2}{3}\pi$

B．

$\frac{1}{2}\pi$

C．

$\frac{11}{16}\pi$

D．

$\frac{21}{32}\pi$

如图， $\mathit{AB}$ 为 $\odot O$ 的直径， $C$ 为 $\odot O$ 上一点，连接 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BC}$ ， $D$ 为 $\mathit{AB}$ 延长线上一点，连接 $\mathit{CD}$ ，且 $\angle \mathit{BCD}=\angle A$ ．

（1）求证： $\mathit{CD}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\odot O$ 的半径为 $\sqrt{5}$ ， $\mathit{\Delta ABC}$ 的面积为 $2\sqrt{5}$ ，求 $\mathit{CD}$ 的长；

（3）在（2）的条件下， $E$ 为 $\odot O$ 上一点，连接 $\mathit{CE}$ 交线段 $\mathit{OA}$ 于点 $F$ ，若 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{CF}}=\frac{1}{2}$ ，求 $\mathit{BF}$ 的长．

已知，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3(a<0)$与 $x$轴交于 $A(3,0)$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，抛物线的对称轴是直线 $x=1$， $D$为抛物线的顶点，点 $E$在 $y$轴 $C$点的上方，且 $\mathit{CE}=\frac{1}{2}$．

（1）求抛物线的解析式及顶点 $D$的坐标；

（2）求证：直线 $\mathit{DE}$是 $\mathit{\Delta ACD}$外接圆的切线；

（3）在直线 $\mathit{AC}$上方的抛物线上找一点 $P$，使 $S_{\mathit{\Delta ACP}}=\frac{1}{2}{S}_{\mathit{\Delta ACD}}$，求点 $P$的坐标；

（4）在坐标轴上找一点 $M$，使以点 $B$、 $C$、 $M$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ACD}$相似，直接写出点 $M$的坐标．

如图①，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}=3$， $\angle \mathit{BAC}=100°$， $D$是 $\mathit{BC}$的中点．小明对图①进行了如下探究：在线段 $\mathit{AD}$上任取一点 $P$，连接 $\mathit{PB}$．将线段 $\mathit{PB}$绕点 $P$按逆时针方向旋转 $80°$，点 $B$的对应点是点 $E$，连接 $\mathit{BE}$，得到 $\mathit{\Delta BPE}$．小明发现，随着点 $P$在线段 $\mathit{AD}$上位置的变化，点 $E$的位置也在变化，点 $E$可能在直线 $\mathit{AD}$的左侧，也可能在直线 $\mathit{AD}$上，还可能在直线 $\mathit{AD}$的右侧．

请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：

（1）当点 $E$在直线 $\mathit{AD}$上时，如图②所示．

① $\angle \mathit{BEP}=$　    　 $°$；

②连接 $\mathit{CE}$，直线 $\mathit{CE}$与直线 $\mathit{AB}$的位置关系是　    　．

（2）请在图③中画出 $\mathit{\Delta BPE}$，使点 $E$在直线 $\mathit{AD}$的右侧，连接 $\mathit{CE}$．试判断直线 $\mathit{CE}$与直线 $\mathit{AB}$的位置关系，并说明理由．

（3）当点 $P$在线段 $\mathit{AD}$上运动时，求 $\mathit{AE}$的最小值．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中，对角线相交于点 $O$， $\odot M$为 $\mathit{\Delta BCD}$的内切圆，切点分别为 $N$， $P$， $Q$， $\mathit{DN}=4$， $\mathit{BN}=6$．

（1）求 $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$；

（2）点 $H$从点 $A$出发，沿线段 $\mathit{AD}$向点 $D$以每秒3个单位长度的速度运动，当点 $H$运动到点 $D$时停止，过点 $H$作 $\mathit{HI}//\mathit{BD}$交 $\mathit{AC}$于点 $I$，设运动时间为 $t$秒．

①将 $\mathit{\Delta AHI}$沿 $\mathit{AC}$翻折得△ $\mathit{AH}\text{'}I$，是否存在时刻 $t$，使点 $H\text{'}$恰好落在边 $\mathit{BC}$上？若存在，求 $t$的值；若不存在，请说明理由；

②若点 $F$为线段 $\mathit{CD}$上的动点，当 $\mathit{\Delta OFH}$为正三角形时，求 $t$的值．

图1是邻边长为2和6的矩形，它由三个小正方形组成，将其剪拼成不重叠、无缝隙的大正方形（如图 $2)$ ，则图1中所标注的 $d$ 的值为 　　；记图1中小正方形的中心为点 $A$ ， $B$ ， $C$ ，图2中的对应点为点 $A\text{'}$ ， $B\text{'}$ ， $C\text{'}$ ．以大正方形的中心 $O$ 为圆心作圆，则当点 $A\text{'}$ ， $B\text{'}$ ， $C\text{'}$ 在圆内或圆上时，圆的最小面积为 　　．

如图，抛物线 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{3}{2}x+2$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $y$轴交于点 $C$．

（1）试探究 $\mathit{\Delta ABC}$的外接圆的圆心位置，求出圆心坐标；

（2）点 $P$是抛物线上一点（不与点 $A$重合），且 $S_{\mathit{\Delta PBC}}=S_{\mathit{\Delta ABC}}$，求 $\angle \mathit{APB}$的度数；

（3）在（2）的条件下，点 $E$是 $x$轴上方抛物线上一点，点 $F$是抛物线对称轴上一点，是否存在这样的点 $E$和点 $F$，使得以点 $B$、 $P$、 $E$、 $F$为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 $F$的坐标；若不存在，请说明理由．