初中数学圆试题

如图，在平面直角坐标系中， $\odot M$ 经过原点 $O$ ，分别交 $x$ 轴、 $y$ 轴于点 $A(2,0)$ ， $B(0,8)$ ，连结 $\mathit{AB}$ ．直线 $\mathit{CM}$ 分别交 $\odot M$ 于点 $D$ ， $E$ （点 $D$ 在左侧），交 $x$ 轴于点 $C(17,0)$ ，连结 $\mathit{AE}$ ．

（1）求 $\odot M$ 的半径和直线 $\mathit{CM}$ 的函数表达式；

（2）求点 $D$ ， $E$ 的坐标；

（3）点 $P$ 在线段 $\mathit{AC}$ 上，连结 $\mathit{PE}$ ．当 $\angle \mathit{AEP}$ 与 $\mathit{\Delta OBD}$ 的一个内角相等时，求所有满足条件的 $\mathit{OP}$ 的长．

如图， $\mathit{BD}$ 是半径为3的 $\odot O$ 的一条弦， $\mathit{BD}=4\sqrt{2}$ ，点 $A$ 是 $\odot O$ 上的一个动点（不与点 $B$ ， $D$ 重合），以 $A$ ， $B$ ， $D$ 为顶点作 $▱\mathit{ABCD}$ ．

（1）如图2，若点 $A$ 是劣弧 $\widehat{\mathit{BD}}$ 的中点．

①求证： $▱\mathit{ABCD}$ 是菱形；

②求 $▱\mathit{ABCD}$ 的面积．

（2）若点 $A$ 运动到优弧 $\stackrel{̂}{\mathit{BD}}$ 上，且 $▱\mathit{ABCD}$ 有一边与 $\odot O$ 相切．

①求 $\mathit{AB}$ 的长；

②写出 $▱\mathit{ABCD}$ 对角线所夹锐角的正切值．

如图1，四边形 $\mathit{ABCD}$ 内接于 $\odot O$ ， $\mathit{BD}$ 为直径， $\stackrel{̂}{\text{AD}}$ 上存在点 $E$ ，满足 $\widehat{A\text{E}}=\widehat{\text{CD}}$ ，连结 $\mathit{BE}$ 并延长交 $\mathit{CD}$ 的延长线于点 $F$ ， $\mathit{BE}$ 与 $\mathit{AD}$ 交于点 $G$ ．

（1）若 $\angle \mathit{DBC}=\alpha$ ，请用含 $\alpha$ 的代数式表示 $\angle \mathit{AGB}$ ．

（2）如图2，连结 $\mathit{CE}$ ， $\mathit{CE}=\mathit{BG}$ ．求证： $\mathit{EF}=\mathit{DG}$ ．

（3）如图3，在（2）的条件下，连结 $\mathit{CG}$ ， $\mathit{AD}=2$ ．

①若 $\tan \angle \mathit{ADB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $\mathit{\Delta FGD}$ 的周长．

②求 $\mathit{CG}$ 的最小值．

如图1， $O$ 为半圆的圆心， $C$ 、 $D$ 为半圆上的两点，且 $\stackrel{̂}{\mathit{BD}}=\stackrel{̂}{\mathit{CD}}$ ．连接 $\mathit{AC}$ 并延长，与 $\mathit{BD}$ 的延长线相交于点 $E$ ．

（1）求证： $\mathit{CD}=\mathit{ED}$ ；

（2） $\mathit{AD}$ 与 $\mathit{OC}$ ， $\mathit{BC}$ 分别交于点 $F$ ， $H$ ．

①若 $\mathit{CF}=\mathit{CH}$ ，如图2，求证： $\mathit{CF}\cdot \mathit{AF}=\mathit{FO}\cdot \mathit{AH}$ ；

②若圆的半径为2， $\mathit{BD}=1$ ，如图3，求 $\mathit{AC}$ 的值．

课本再现

（1）在证明"三角形内角和定理"时，小明只撕下三角形纸片的一个角拼成图1即可证明，其中与 $\angle A$ 相等的角是 　　；

类比迁移

（2）如图2，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\angle \mathit{ABC}$ 与 $\angle \mathit{ADC}$ 互余，小明发现四边形 $\mathit{ABCD}$ 中这对互余的角可类比（1）中思路进行拼合：先作 $\angle \mathit{CDF}=\angle \mathit{ABC}$ ，再过点 $C$ 作 $\mathit{CE}\perp \mathit{DF}$ 于点 $E$ ，连接 $\mathit{AE}$ ，发现 $\mathit{AD}$ ， $\mathit{DE}$ ， $\mathit{AE}$ 之间的数量关系是 　　；

方法运用

（3）如图3，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中，连接 $\mathit{AC}$ ， $\angle \mathit{BAC}=90°$ ，点 $O$ 是 $\mathit{\Delta ACD}$ 两边垂直平分线的交点，连接 $\mathit{OA}$ ， $\angle \mathit{OAC}=\angle \mathit{ABC}$ ．

①求证： $\angle \mathit{ABC}+\angle \mathit{ADC}=90°$ ；

②连接 $\mathit{BD}$ ，如图4，已知 $\mathit{AD}=m$ ， $\mathit{DC}=n$ ， $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{AC}}=2$ ，求 $\mathit{BD}$ 的长（用含 $m$ ， $n$ 的式子表示）．

在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？

（1）如图①，圆锥的母线长为 $12\mathit{cm}$ ， $B$ 为母线 $\mathit{OC}$ 的中点，点 $A$ 在底面圆周上， $\stackrel{̂}{\mathit{AC}}$ 的长为 $4\mathit{\pi cm}$ ．在图②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点 $A$ 爬行到点 $B$ 的最短路径，并标出它的长（结果保留根号）．

（2）图③中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成． $O$ 是圆锥的顶点，点 $A$ 在圆柱的底面圆周上，设圆锥的母线长为 $l$ ，圆柱的高为 $h$ ．

①蚂蚁从点 $A$ 爬行到点 $O$ 的最短路径的长为 　 $l+h$ 　（用含 $l$ ， $h$ 的代数式表示）．

②设 $\stackrel{̂}{\mathit{AD}}$ 的长为 $a$ ，点 $B$ 在母线 $\mathit{OC}$ 上， $\mathit{OB}=b$ ．圆柱的侧面展开图如图④所示，在图中画出蚂蚁从点 $A$ 爬行到点 $B$ 的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路．

在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．

（1） $\mathit{\Delta ABC}$ 是边长为3的等边三角形， $E$ 是边 $\mathit{AC}$ 上的一点，且 $\mathit{AE}=1$ ，小亮以 $\mathit{BE}$ 为边作等边三角形 $\mathit{BEF}$ ，如图1．求 $\mathit{CF}$ 的长；

（2） $\mathit{\Delta ABC}$ 是边长为3的等边三角形， $E$ 是边 $\mathit{AC}$ 上的一个动点，小亮以 $\mathit{BE}$ 为边作等边三角形 $\mathit{BEF}$ ，如图2．在点 $E$ 从点 $C$ 到点 $A$ 的运动过程中，求点 $F$ 所经过的路径长；

（3） $\mathit{\Delta ABC}$ 是边长为3的等边三角形， $M$ 是高 $\mathit{CD}$ 上的一个动点，小亮以 $\mathit{BM}$ 为边作等边三角形 $\mathit{BMN}$ ，如图3．在点 $M$ 从点 $C$ 到点 $D$ 的运动过程中，求点 $N$ 所经过的路径长；

（4）正方形 $\mathit{ABCD}$ 的边长为3， $E$ 是边 $\mathit{CB}$ 上的一个动点，在点 $E$ 从点 $C$ 到点 $B$ 的运动过程中，小亮以 $B$ 为顶点作正方形 $\mathit{BFGH}$ ，其中点 $F$ 、 $G$ 都在直线 $\mathit{AE}$ 上，如图4．当点 $E$ 到达点 $B$ 时，点 $F$ 、 $G$ 、 $H$ 与点 $B$ 重合．则点 $H$ 所经过的路径长为 　 　，点 $G$ 所经过的路径长为 　　．

如图，点 $O$ 为以 $\mathit{AB}$ 为直径的半圆的圆心，点 $M$ ， $N$ 在直径 $\mathit{AB}$ 上，点 $P$ ， $Q$ 在 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$ 上，四边形 $\mathit{MNPQ}$ 为正方形，点 $C$ 在 $\stackrel{̂}{\mathit{QP}}$ 上运动（点 $C$ 与点 $P$ ， $Q$ 不重合），连接 $\mathit{BC}$ 并延长交 $\mathit{MQ}$ 的延长线于点 $D$ ，连接 $\mathit{AC}$ 交 $\mathit{MQ}$ 于点 $E$ ，连接 $\mathit{OQ}$ ．

（1）求 $\sin \angle \mathit{AOQ}$ 的值；

（2）求 $\frac{\mathit{AM}}{\mathit{MN}}$ 的值；

（3）令 $\mathit{ME}=x$ ， $\mathit{QD}=y$ ，直径 $\mathit{AB}=2R(R>0$ ， $R$ 是常数），求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并指明自变量 $x$ 的取值范围．

【提出问题】如图1，小东将一张AD为12，宽AB为4的长方形纸片按如下方式进行折叠：在纸片的一边BC上分别取点P、Q，使得BP=CQ，连结AP、DQ，将△ABP、△DCQ分别沿AP、DQ折叠得△APM，△DQN，连结MN．小东发现线段MN的位置和长度随着点P、Q的位置发生改变．

【规律探索】
（1）请在图1中过点M，N分别画ME⊥BC于点E，NF⊥BC于点F．
求证：①ME=NF；②MN∥BC．
【解决问题】
（2）如图1，若BP=3，求线段MN的长；
（3）如图2，当点P与点Q重合时，求MN的长．

如图1，矩形ABCD中，AB=2，BC=6，点P、Q分别是线段AD和线段BC上的动点，满足∠PQB=60°．
（1）填空：①∠ACB=        度；②PQ=         ．
（2）设线段BC的中点为N，PQ与线段AC相交于点M，若△CMN为直角三角形，请直接写出满足条件的AP的长度．
（3）设AP=x，△PBQ与△ABC的重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和自变量x的取值范围．

已知，在矩形ABCD中，E为BC边上一点，AE⊥DE，AB=12，BE=16，F为线段BE上一点，EF=7，连接AF．如图①，现有一张硬质纸片△GMN，∠NGM=90°，NG=6，MG=8，斜边MN与边BC在同一直线上，点N与点E重合，点G在线段DE上．如图②，△GMN从图①的位置出发，以每秒1个单位的速度沿EB向点B匀速移动，同时，点P从A点出发，以每秒1个单位的速度沿AD向点D匀速移动，点Q为直线GN与线段AE的交点，连接PQ．当点N到达终点B时，△GMN和点P同时停止运动．设运动时间为t秒，解答下列问题：

（1）在整个运动过程中，当点G在线段AE上时，求t的值．
（2）在整个运动过程中，是否存在点P，使△APQ是等腰三角形．若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
（3）在整个运动过程中，设△GMN与△AEF重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．

（本题14分）在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC的顶点A在轴的正半轴上，OA=4，OC=2，点P，点Q分别是边BC，边AB上的点，连结AC，PQ，点B₁是点B关于PQ的对称点。
（1）若四边形OABC为矩形，如图1，
①求点B的坐标；
②若BQ:BP=1:2，且点B₁落在OA上，求点B₁的坐标；
（2）若四边形OABC为平行四边形，如图2，且OC⊥AC，过点B₁作B₁F∥轴，与对角线AC、边OC分别交于点E、点F。若B₁E: B₁F=1:3，点B₁的横坐标为，求点B₁的纵坐标，并直接写出的取值范围。

如图，在△ABC中，AB=5，AC=9，S_△ABC=，动点P从A点出发，沿射线AB方向以每秒5个单位的速度运动，动点Q从C点出发，以相同的速度在线段AC上由C向A运动，当Q点运动到A点时，P、Q两点同时停止运动，以PQ为边作正方形PQEF（P、Q、E、F按逆时针排序），以CQ为边在AC上方作正方形QCGH．

（1）求tanA的值；
（2）设点P运动时间为t，正方形PQEF的面积为S，请探究S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值，若不存在，请说明理由；
（3）当t为何值时，正方形PQEF的某个顶点（Q点除外）落在正方形QCGH的边上，请直接写出t的值．

（本题8分）如图，在□ABCD中，、是、的中点，、的延长线分别交、的延长线于、；

（1）求证：BH=AB；
（2）若四边形为菱形，试判断与的大小，并证明你的结论．

（1）如图1，直线//////，且与，与之间的距离均为1，与之间的距离为2，现将正方形ABCD如图放置，使其四个顶点分别在四条直线上，求正方形的边长；
（2）在（1）的条件下，探究：将正方形ABCD改为菱形ABCD，如图2，当时，求菱形的边长．