初中数学四边形综合题解答题

已知，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AC}=4$， $\mathit{BC}=2$， $D$是 $\mathit{AC}$边上的一个动点，将 $\mathit{\Delta ABD}$沿 $\mathit{BD}$所在直线折叠，使点 $A$落在点 $P$处．

（1）如图1，若点 $D$是 $\mathit{AC}$中点，连接 $\mathit{PC}$．

①写出 $\mathit{BP}$， $\mathit{BD}$的长；

②求证：四边形 $\mathit{BCPD}$是平行四边形．

（2）如图2，若 $\mathit{BD}=\mathit{AD}$，过点 $P$作 $\mathit{PH}\perp \mathit{BC}$交 $\mathit{BC}$的延长线于点 $H$，求 $\mathit{PH}$的长．

以菱形 $\mathit{ABCD}$的对角线交点 $O$为坐标原点， $\mathit{AC}$所在的直线为 $x$轴，已知 $A(-4,0)$， $B(0,-2)$， $M(0,4)$， $P$为折线 $\mathit{BCD}$上一动点，作 $\mathit{PE}\perp y$轴于点 $E$，设点 $P$的纵坐标为 $a$．

（1）求 $\mathit{BC}$边所在直线的解析式；

（2）设 $y=M{P}^2+O{P}^2$，求 $y$关于 $a$的函数关系式；

（3）当 $\mathit{\Delta OPM}$为直角三角形时，求点 $P$的坐标．

如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

（1）概念理解：如图2，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AD}$， $\mathit{CB}=\mathit{CD}$，问四边形 $\mathit{ABCD}$是垂美四边形吗？请说明理由；

（2）性质探究：如图1，四边形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BD}$交于点 $O$， $\mathit{AC}\perp \mathit{BD}$．试证明： $A{B}^2+C{D}^2=A{D}^2+B{C}^2$；

（3）解决问题：如图3，分别以 $\text{Rt}\Delta \text{ACB}$的直角边 $\mathit{AC}$和斜边 $\mathit{AB}$为边向外作正方形 $\mathit{ACFG}$和正方形 $\mathit{ABDE}$，连接 $\mathit{CE}$、 $\mathit{BG}$、 $\mathit{GE}$．已知 $\mathit{AC}=4$， $\mathit{AB}=5$，求 $\mathit{GE}$的长．

阅读下面的例题及点拨，并解决问题：

例题：如图①，在等边 $\mathit{\Delta ABC}$中， $M$是 $\mathit{BC}$边上一点（不含端点 $B$， $C)$， $N$是 $\mathit{\Delta ABC}$的外角 $\angle \mathit{ACH}$的平分线上一点，且 $\mathit{AM}=\mathit{MN}$．求证： $\angle \mathit{AMN}=60°$．

点拨：如图②，作 $\angle \mathit{CBE}=60°$， $\mathit{BE}$与 $\mathit{NC}$的延长线相交于点 $E$，得等边 $\mathit{\Delta BEC}$，连接 $\mathit{EM}$．易证： $\mathit{\Delta ABM}\cong \mathit{\Delta EBM}\left(\mathit{SAS}\right)$，可得 $\mathit{AM}=\mathit{EM}$， $\angle 1=\angle 2$；又 $\mathit{AM}=\mathit{MN}$，则 $\mathit{EM}=\mathit{MN}$，可得 $\angle 3=\angle 4$；由 $\angle 3+\angle 1=\angle 4+\angle 5=60°$，进一步可得 $\angle 1=\angle 2=\angle 5$，又因为 $\angle 2+\angle 6=120°$，所以 $\angle 5+\angle 6=120°$，即： $\angle \mathit{AMN}=60°$．

问题：如图③，在正方形 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$中， $M_1$是 $B_1{C}_1$边上一点（不含端点 $B_1$， $C_1)$， $N_1$是正方形 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$的外角 $\angle D_1{C}_1{H}_1$的平分线上一点，且 $A_1{M}_1=M_1{N}_1$．求证： $\angle A_1{M}_1{N}_1=90°$．

如图所示，在正方形 $\mathit{ABCD}$和 $\mathit{\Delta EFG}$中， $\mathit{AB}=\mathit{EF}=\mathit{EG}=5\mathit{cm}$， $\mathit{FG}=8\mathit{cm}$，点 $B$、 $C$、 $F$、 $G$在同一直线 $l$上．当点 $C$、 $F$重合时， $\mathit{\Delta EFG}$以 $1\mathit{cm}/s$的速度沿直线 $l$向左开始运动， $t$秒后正方形 $\mathit{ABCD}$与 $\mathit{\Delta EFG}$重合部分的面积为 $\mathit{Sc}{m}^2$．请解答下列问题：

（1）当 $t=3$秒时，求 $S$的值；

（2）当 $t=5$秒时，求 $S$的值；

（3）当5秒 $<t⩽8$秒时，求 $S$与 $t$的函数关系式，并求出 $S$的最大值．

$\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}=90°$， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，点 $D$为直线 $\mathit{BC}$上一动点（点 $D$不与 $B$， $C$重合），以 $\mathit{AD}$为边在 $\mathit{AD}$右侧作正方形 $\mathit{ADEF}$，连接 $\mathit{CF}$．

（1）观察猜想

如图1，当点 $D$在线段 $\mathit{BC}$上时，

① $\mathit{BC}$与 $\mathit{CF}$的位置关系为：　　．

② $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$， $\mathit{CF}$之间的数量关系为：　　；（将结论直接写在横线上）

（2）数学思考

如图2，当点 $D$在线段 $\mathit{CB}$的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．

（3）拓展延伸

如图3，当点 $D$在线段 $\mathit{BC}$的延长线上时，延长 $\mathit{BA}$交 $\mathit{CF}$于点 $G$，连接 $\mathit{GE}$．若已知 $\mathit{AB}=2\sqrt{2}$， $\mathit{CD}=\frac{1}{4}\mathit{BC}$，请求出 $\mathit{GE}$的长．

如图1，矩形ABCD中， $\mathit{AB}＝7\mathit{cm}$ ， $\mathit{AD}＝4\mathit{cm}$，点E为AD上一定点，点F为AD延长线上一点，且 $\mathit{DF}＝\mathit{acm}$，点P从A点出发，沿AB边向点B以2cm/s的速度运动，连结PE，设点P运动的时间为ts，△PAE的面积为ycm²，当 $0\le t\le 1$时，△PAE的面积y（cm²）关于时间t（s）的函数图象如图2所示，连结PF，交CD于点H．

（1）t的取值范围为   　，AE＝　 　cm；

（2）如图3，将△HDF沿线段DF进行翻折，与CD的延长线交于点M，连结AM，当a为何值时，四边形PAMH为菱形？并求出此时点P的运动时间t；

（3）如图4，当点P出发1s后，AD边上另一动点Q从E点出发，沿ED边向点D以1cm/s的速度运动，如果P，Q两点中的任意一点到达终点后，另一点也停止运动，连结PQ，QH．若 $a=\frac{4}{3}\text{cm}$，请问△PQH能否构成直角三角形？若能，请求出点P的运动时间t；若不能，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A在第一象限，点C在第四象限，点B在x轴的正半轴上． $\angle \mathit{OAB}＝90°$且 $\mathit{OA}＝\mathit{AB}$，OB，OC的长分别是一元二次方程 $x^2﹣11x+30＝0$的两个根 $（\mathit{OB}＞\mathit{OC}）$．

（1）求点A和点B的坐标．

（2）点P是线段OB上的一个动点（点P不与点O，B重合），过点P的直线l与y轴平行，直线l交边OA或边AB于点Q，交边OC或边BC于点R．设点P的横坐标为t，线段QR的长度为m．已知 $t＝4$时，直线l恰好过点C．当 $0＜t＜3$时，求m关于t的函数关系式．

（3）当 $m＝3.5$时，请直接写出点P的坐标．

已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BD作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点．

（1）当点P与点O重合时如图1，易证 $\mathit{OE}＝\mathit{OF}$（不需证明）

（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当 $\angle \mathit{OFE}＝30°$时，如图2、图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明．

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A在第一象限，点C在第四象限，点B在x轴的正半轴上． $\angle \mathit{OAB}＝90°$且 $\mathit{OA}＝\mathit{AB}$，OB，OC的长分别是一元二次方程 $x^2﹣11x+30＝0$的两个根 $（\mathit{OB}＞\mathit{OC}）$．

（1）求点A和点B的坐标．

（2）点P是线段OB上的一个动点（点P不与点O，B重合），过点P的直线l与y轴平行，直线l交边OA或边AB于点Q，交边OC或边BC于点R．设点P的横坐标为t，线段QR的长度为m．已知 $t＝4$时，直线l恰好过点C．当 $0＜t＜3$时，求m关于t的函数关系式．

（3）当 $m＝3.5$时，请直接写出点P的坐标．

已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BD作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点．

（1）当点P与点O重合时如图1，易证 $\mathit{OE}＝\mathit{OF}$（不需证明）

（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当 $\angle \mathit{OFE}＝30°$时，如图2、图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明．

在▱ABCD中，点P和点Q是直线BD上不重合的两个动点， $\mathit{AP}\parallel \mathit{CQ}$，AD＝BD．

（1）如图①，求证： $\mathit{BP}+\mathit{BQ}＝\mathit{BC}$；

（2）请直接写出图②，图③中BP、BQ、BC三者之间的数量关系，不需要证明；

（3）在（1）和（2）的条件下，若 $\mathit{DQ}＝1$， $\mathit{DP}＝3$，则BC＝　　．

如图1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F．

（1）求证：△BDF是等腰三角形；

（2）如图2，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O．

①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；

②若AB＝6，AD＝8，求FG的长．

如图，在四边形 ABCD中，∠ B＝60°，∠ D＝30°， AB＝ BC．

（1）求∠ A+∠ C的度数；

（2）连接 BD，探究 AD， BD， CD三者之间的数量关系，并说明理由；

（3）若 AB＝1，点 E在四边形 ABCD内部运动，且满足 AE ²＝ BE ²+ CE ²，求点 E运动路径的长度．

如图，在正方形 ABCD中， AB＝6， M是对角线 BD上的一个动点（0＜ DM＜ $\frac{1}{2}$ BD），连接 AM，过点 M作 MN⊥ AM交 BC于点 N．

（1）如图①，求证： MA＝ MN；

（2）如图②，连接 AN， O为 AN的中点， MO的延长线交边 AB于点 P，当 $\frac{S_{△\mathit{AMN}}}{S_{△\mathit{BCD}}}=\frac{13}{18}$ 时，求 AN和 PM的长；

（3）如图③，过点 N作 NH⊥ BD于 H，当 AM＝2 $\mathrm{}\sqrt{5}$ 时，求△ HMN的面积．