已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BD作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点．
（1）当点P与点O重合时如图1，易证 （不需证明）
（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当 时，如图2、图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明．
如图1，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a﹣b|．利用数形结合思想回答下列问题：
（1）数轴上表示1和5两点之间的距离是 ，数轴上表示2和﹣1的两点之间的距离是 ；
（2）数轴上表示x和﹣1的两点之间的距离表示为 ；
（3）若x表示一个有理数，化简：|x﹣2|+|x+4|；
（4）利用数轴求出|x+3|+|x﹣4|的最小值，并写出此时x可取哪些整数值？
观察下列等式
，
，
，以上三个等式两边分别相加得：
（1）猜想并写出：
=
﹣
；
（2）计算：
= ；
（3）探究并计算：
= ；
（4）若|ab﹣3|与|b﹣1|互为相反数，求：
+
+
+
…+
的值．
某商场将进货价为30元的台灯以40元的销售价售出，平均每月能售出600个．市场调研表明：当销售价每上涨1元时，其销售量就将减少10个．若设每个台灯的销售价上涨a元．
（1）试用含a的代数式填空：
①涨价后，每个台灯的销售价为 元；
②涨价后，每个台灯的利润为 元；
③涨价后，商场的台灯平均每月的销售量为 台．
（2）如果商场要想销售利润平均每月达到10000元，商场经理甲说“在原售价每台40元的基础上再上涨40元，可以完成任务”，商场经理乙说“不用涨那么多，在原售价每台40元的基础上再上涨10元就可以了”，试判断经理甲与乙的说法是否正确，并说明理由．
一只蚂蚁从某点M出发，在一条直线上来回爬行，把它向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，则它爬过的各段路程依次为：﹣3cm，+10cm，﹣8cm，+5cm，﹣6cm，+12cm，﹣12cm．
（1）问这只蚂蚁最后停止位置在出发点M的左侧，还是右侧，距离多远？
（2）蚂蚁在爬行过程中，如果每爬行2cm获得1粒芝麻，那么最后它共得到多少粒芝麻？
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