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  • 更新 2022-09-04
  • 科目 数学
  • 题型 解答题
  • 难度 中等
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阅读以下材料,并按要求完成相应的任务:

莱昂哈德·欧拉(LeonhardEuler)是瑞士数学家,在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数,公式和定理,下面就是欧拉发现的一个定理:在ΔABC中,Rr分别为外接圆和内切圆的半径,OI分别为其中外心和内心,则OI2=R2-2Rr

如图1,OI分别是ΔABC的外接圆和内切圆,IAB相切分于点F,设O的半径为RI的半径为r,外心O(三角形三边垂直平分线的交点)与内心I(三角形三条角平分线的交点)之间的距离OI=d,则有d2=R2-2Rr

下面是该定理的证明过程(部分):

延长AIO于点D,过点IO的直径MN,连接DMAN

D=NDMI=NAI(同弧所对的圆周角相等).

ΔMDIΔANIIMIA=IDINIA·ID=IM·IN,①

如图2,在图1(隐去MDAN)的基础上作O的直径DE,连接BEBDBIIF

DEO的直径,所以DBE=90°

IAB相切于点F,所以AFI=90°

DBE=IFA

BAD=E(同弧所对的圆周角相等),

ΔAIFΔEDB

IADE=IFBD

IA·BD=DE·IF

任务:(1)观察发现:IM=R+dIN= R-d (用含Rd的代数式表示);

(2)请判断BDID的数量关系,并说明理由.

(3)请观察式子①和式子②,并利用任务(1),(2)的结论,按照上面的证明思路,完成该定理证明的剩余部分;

(4)应用:若ΔABC的外接圆的半径为5cm,内切圆的半径为2cm,则ΔABC的外心与内心之间的距离为  cm

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阅读以下材料,并按要求完成相应的任务:莱昂哈德·欧拉(Leo