初中数学四边形综合题解答题

中心为 $O$ 的正六边形 $\mathit{ABCDEF}$ 的半径为 $6\mathit{cm}$ ，点 $P$ ， $Q$ 同时分别从 $A$ ， $D$ 两点出发，以 $1\mathit{cm}/s$ 的速度沿 $\mathit{AF}$ ， $\mathit{DC}$ 向终点 $F$ ， $C$ 运动，连接 $\mathit{PB}$ ， $\mathit{PE}$ ， $\mathit{QB}$ ， $\mathit{QE}$ ，设运动时间为 $t\left(s\right)$ ．

（1）求证：四边形 $\mathit{PBQE}$ 为平行四边形；

（2）求矩形 $\mathit{PBQE}$ 的面积与正六边形 $\mathit{ABCDEF}$ 的面积之比．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$ 是正方形，点 $F$ 是射线 $\mathit{AD}$ 上的动点，连接 $\mathit{CF}$ ，以 $\mathit{CF}$ 为对角线作正方形 $\mathit{CGFE}(C$ ， $G$ ， $F$ ， $E$ 按逆时针排列），连接 $\mathit{BE}$ ， $\mathit{DG}$ ．

（1）当点 $F$ 在线段 $\mathit{AD}$ 上时．

①求证： $\mathit{BE}=\mathit{DG}$ ；

②求证： $\mathit{CD}-\mathit{FD}=\sqrt{2}\mathit{BE}$ ；

（2）设正方形 $\mathit{ABCD}$ 的面积为 $S_1$ ，正方形 $\mathit{CGFE}$ 的面积为 $S_2$ ，以 $C$ ， $G$ ， $D$ ， $F$ 为顶点的四边形的面积为 $S_3$ ，当 $\frac{S_2}{S_1}=\frac{13}{25}$ 时，请直接写出 $\frac{S_3}{S_1}$ 的值．

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$ 和正方形 $\mathit{CEFG}$ （其中 $\mathit{BD}>2\mathit{CE})$ ， $\mathit{BG}$ 的延长线与直线 $\mathit{DE}$ 交于点 $H$ ．

（1）如图1，当点 $G$ 在 $\mathit{CD}$ 上时，求证： $\mathit{BG}=\mathit{DE}$ ， $\mathit{BG}\perp \mathit{DE}$ ；

（2）将正方形 $\mathit{CEFG}$ 绕点 $C$ 旋转一周．

①如图2，当点 $E$ 在直线 $\mathit{CD}$ 右侧时，求证： $\mathit{BH}-\mathit{DH}=\sqrt{2}\mathit{CH}$ ；

②当 $\angle \mathit{DEC}=45°$ 时，若 $\mathit{AB}=3$ ， $\mathit{CE}=1$ ，请直接写出线段 $\mathit{DH}$ 的长．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{BAC}=90°$ ， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ， $M$ 是 $\mathit{AC}$ 边上的一点，连接 $\mathit{BM}$ ，作 $\mathit{AP}\perp \mathit{BM}$ 于点 $P$ ，过点 $C$ 作 $\mathit{AC}$ 的垂线交 $\mathit{AP}$ 的延长线于点 $E$ ．

（1）如图1，求证： $\mathit{AM}=\mathit{CE}$ ；

（2）如图2，以 $\mathit{AM}$ ， $\mathit{BM}$ 为邻边作平行四边形 $\mathit{AMBG}$ ，连接 $\mathit{GE}$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $N$ ，连接 $\mathit{AN}$ ，求 $\frac{\mathit{GE}}{\mathit{AN}}$ 的值；

（3）如图3，若 $M$ 是 $\mathit{AC}$ 的中点，以 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{BM}$ 为邻边作平行四边形 $\mathit{AGMB}$ ，连接 $\mathit{GE}$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $M$ ，连接 $\mathit{AN}$ ，经探究发现 $\frac{\mathit{NC}}{\mathit{BC}}=\frac{1}{8}$ ，请直接写出 $\frac{\mathit{GE}}{\mathit{AN}}$ 的值．

在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中，点 $E$ 是射线 $\mathit{BC}$ 上一动点，连接 $\mathit{AE}$ ，过点 $B$ 作 $\mathit{BF}\perp \mathit{AE}$ 于点 $G$ ，交直线 $\mathit{CD}$ 于点 $F$ ．

（1）当矩形 $\mathit{ABCD}$ 是正方形时，以点 $F$ 为直角顶点在正方形 $\mathit{ABCD}$ 的外部作等腰直角三角形 $\mathit{CFH}$ ，连接 $\mathit{EH}$ ．

①如图1，若点 $E$ 在线段 $\mathit{BC}$ 上，则线段 $\mathit{AE}$ 与 $\mathit{EH}$ 之间的数量关系是 　 　，位置关系是 　　；

②如图2，若点 $E$ 在线段 $\mathit{BC}$ 的延长线上，①中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；

（2）如图3，若点 $E$ 在线段 $\mathit{BC}$ 上，以 $\mathit{BE}$ 和 $\mathit{BF}$ 为邻边作平行四边形 $\mathit{BEHF}$ ， $M$ 是 $\mathit{BH}$ 中点，连接 $\mathit{GM}$ ， $\mathit{AB}=3$ ， $\mathit{BC}=2$ ，求 $\mathit{GM}$ 的最小值．

能够完全重合的平行四边形纸片 $\mathit{ABCD}$ 和 $\mathit{AEFG}$ 按图①方式摆放，其中 $\mathit{AD}=\mathit{AG}=5$ ， $\mathit{AB}=9$ ．点 $D$ ， $G$ 分别在边 $\mathit{AE}$ ， $\mathit{AB}$ 上， $\mathit{CD}$ 与 $\mathit{FG}$ 相交于点 $H$ ．

【探究】求证：四边形 $\mathit{AGHD}$ 是菱形．

【操作一】固定图①中的平行四边形纸片 $\mathit{ABCD}$ ，将平行四边形纸片 $\mathit{AEFG}$ 绕着点 $A$ 顺时针旋转一定的角度，使点 $F$ 与点 $C$ 重合，如图②．则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为 　    　．

【操作二】将图②中的平行四边形纸片 $\mathit{AEFG}$ 绕着点 $A$ 继续顺时针旋转一定的角度，使点 $E$ 与点 $B$ 重合，连接 $\mathit{DG}$ ， $\mathit{CF}$ ，如图③，若 $\sin \angle \mathit{BAD}=\frac{4}{5}$ ，则四边形 $\mathit{DCFG}$ 的面积为 　　．

【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．

1．把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？

【问题解决】如图①，已知矩形纸片 $\mathit{ABCD}(\mathit{AB}>\mathit{AD})$ ，将矩形纸片沿过点 $D$ 的直线折叠，使点 $A$ 落在边 $\mathit{DC}$ 上，点 $A$ 的对应点为 $A\text{'}$ ，折痕为 $\mathit{DE}$ ，点 $E$ 在 $\mathit{AB}$ 上．求证：四边形 $\mathit{AEA}\text{'}D$ 是正方形．

【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的△ $A\text{'}\mathit{DE}$ 为等腰三角形．现将图①中的点 $A\text{'}$ 沿 $\mathit{DC}$ 向右平移至点 $Q$ 处（点 $Q$ 在点 $C$ 的左侧），如图②，折痕为 $\mathit{PF}$ ，点 $F$ 在 $\mathit{DC}$ 上，点 $P$ 在 $\mathit{AB}$ 上，那么 $\mathit{\Delta PQF}$ 还是等腰三角形吗？请说明理由．

[结论应用]在图②中，当 $\mathit{QC}=\mathit{QP}$ 时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点 $C$ 与点 $P$ 重合，折痕为 $\mathit{QG}$ ，点 $G$ 在 $\mathit{AB}$ 上．要使四边形 $\mathit{PGQF}$ 为菱形，则 $\frac{\mathit{AD}}{\mathit{AB}}=$ 　 　．

如图1，已知点 $O$ 在四边形 $\mathit{ABCD}$ 的边 $\mathit{AB}$ 上，且 $\mathit{OA}=\mathit{OB}=\mathit{OC}=\mathit{OD}=2$ ， $\mathit{OC}$ 平分 $\angle \mathit{BOD}$ ，与 $\mathit{BD}$ 交于点 $G$ ， $\mathit{AC}$ 分别与 $\mathit{BD}$ 、 $\mathit{OD}$ 交于点 $E$ 、 $F$ ．

（1）求证： $\mathit{OC}//\mathit{AD}$ ；

（2）如图2，若 $\mathit{DE}=\mathit{DF}$ ，求 $\frac{\mathit{AE}}{\mathit{AF}}$ 的值；

（3）当四边形 $\mathit{ABCD}$ 的周长取最大值时，求 $\frac{\mathit{DE}}{\mathit{DF}}$ 的值．

【感知】如图①，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\angle C=\angle D=90°$ ，点 $E$ 在边 $\mathit{CD}$ 上， $\angle \mathit{AEB}=90°$ ，求证： $\frac{\mathit{AE}}{\mathit{EB}}=\frac{\mathit{DE}}{\mathit{CB}}$ ．

【探究】如图②，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\angle C=\angle \mathit{ADC}=90°$ ，点 $E$ 在边 $\mathit{CD}$ 上，点 $F$ 在边 $\mathit{AD}$ 的延长线上， $\angle \mathit{FEG}=\angle \mathit{AEB}=90°$ ，且 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{EG}}=\frac{\mathit{AE}}{\mathit{EB}}$ ，连接 $\mathit{BG}$ 交 $\mathit{CD}$ 于点 $H$ ．

求证： $\mathit{BH}=\mathit{GH}$ ．

【拓展】如图③，点 $E$ 在四边形 $\mathit{ABCD}$ 内， $\angle \mathit{AEB}$ 十 $\angle \mathit{DEC}=180°$ ，且 $\frac{\mathit{AE}}{\mathit{EB}}=\frac{\mathit{DE}}{\mathit{EC}}$ ，过 $E$ 作 $\mathit{EF}$ 交 $\mathit{AD}$ 于点 $F$ ，若 $\angle \mathit{EFA}=\angle \mathit{AEB}$ ，延长 $\mathit{FE}$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $G$ ．求证： $\mathit{BG}=\mathit{CG}$ ．

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$ 的边长为6， $M$ 为 $\mathit{AB}$ 的中点， $\mathit{\Delta MBE}$ 为等边三角形，过点 $E$ 作 $\mathit{ME}$ 的垂线分别与边 $\mathit{AD}$ 、 $\mathit{BC}$ 相交于点 $F$ 、 $G$ ，点 $P$ 、 $Q$ 分别在线段 $\mathit{EF}$ 、 $\mathit{BC}$ 上运动，且满足 $\angle \mathit{PMQ}=60°$ ，连接 $\mathit{PQ}$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta MEP}\cong \mathit{\Delta MBQ}$ ．

（2）当点 $Q$ 在线段 $\mathit{GC}$ 上时，试判断 $\mathit{PF}+\mathit{GQ}$ 的值是否变化？如果不变，求出这个值，如果变化，请说明理由．

（3）设 $\angle \mathit{QMB}=\alpha$ ，点 $B$ 关于 $\mathit{QM}$ 的对称点为 $B^{\text{'}}$ ，若点 $B^{\text{'}}$ 落在 $\mathit{\Delta MPQ}$ 的内部，试写出 $\alpha$ 的范围，并说明理由．

如图1，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=6$ ， $\mathit{BC}=8$ ，动点 $P$ ， $Q$ 分别从 $C$ 点， $A$ 点同时以每秒1个单位长度的速度出发，且分别在边 $\mathit{CA}$ ， $\mathit{AB}$ 上沿 $C\to A$ ， $A\to B$ 的方向运动，当点 $Q$ 运动到点 $B$ 时， $P$ ， $Q$ 两点同时停止运动．设点 $P$ 运动的时间为 $t\left(s\right)$ ，连接 $\mathit{PQ}$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PE}\perp \mathit{PQ}$ ， $\mathit{PE}$ 与边 $\mathit{BC}$ 相交于点 $E$ ，连接 $\mathit{QE}$ ．

（1）如图2，当 $t=5s$ 时，延长 $\mathit{EP}$ 交边 $\mathit{AD}$ 于点 $F$ ．求证： $\mathit{AF}=\mathit{CE}$ ；

（2）在（1）的条件下，试探究线段 $\mathit{AQ}$ ， $\mathit{QE}$ ， $\mathit{CE}$ 三者之间的等量关系，并加以证明；

（3）如图3，当 $t>\frac{9}{4}s$ 时，延长 $\mathit{EP}$ 交边 $\mathit{AD}$ 于点 $F$ ，连接 $\mathit{FQ}$ ，若 $\mathit{FQ}$ 平分 $\angle \mathit{AFP}$ ，求 $\frac{\mathit{AF}}{\mathit{CE}}$ 的值．

问题背景：如图1，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\angle \mathit{BAD}=90°$ ， $\angle \mathit{BCD}=90°$ ， $\mathit{BA}=\mathit{BC}$ ， $\angle \mathit{ABC}=120°$ ， $\angle \mathit{MBN}=60°$ ， $\angle \mathit{MBN}$ 绕 $B$ 点旋转，它的两边分别交 $\mathit{AD}$ 、 $\mathit{DC}$ 于 $E$ 、 $F$ ．探究图中线段 $\mathit{AE}$ ， $\mathit{CF}$ ， $\mathit{EF}$ 之间的数量关系．

小李同学探究此问题的方法是：延长 $\mathit{FC}$ 到 $G$ ，使 $\mathit{CG}=\mathit{AE}$ ，连接 $\mathit{BG}$ ，先证明 $\mathit{\Delta BCG}\cong \mathit{\Delta BAE}$ ，再证明 $\mathit{\Delta BFG}\cong \mathit{\Delta BFE}$ ，可得出结论，他的结论就是 　 　；

探究延伸1：如图2，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\angle \mathit{BAD}=90°$ ， $\angle \mathit{BCD}=90°$ ， $\mathit{BA}=\mathit{BC}$ ， $\angle \mathit{ABC}=2\angle \mathit{MBN}$ ， $\angle \mathit{MBN}$ 绕 $B$ 点旋转．它的两边分别交 $\mathit{AD}$ 、 $\mathit{DC}$ 于 $E$ 、 $F$ ，上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出"成立"或者"不成立" $)$ ，不要说明理由；

探究延伸2：如图3，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{BA}=\mathit{BC}$ ， $\angle \mathit{BAD}+\angle \mathit{BCD}=180°$ ， $\angle \mathit{ABC}=2\angle \mathit{MBN}$ ， $\angle \mathit{MBN}$ 绕 $B$ 点旋转．它的两边分别交 $\mathit{AD}$ 、 $\mathit{DC}$ 于 $E$ 、 $F$ ．上述结论是否仍然成立？并说明理由；

实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心 $(O$ 处）北偏西 $30°$ 的 $A$ 处．舰艇乙在指挥中心南偏东 $70°$ 的 $B$ 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里 $/$ 小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东 $50°$ 的方向以100海里 $/$ 小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达 $E$ 、 $F$ 处．且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为 $70°$ ．试求此时两舰艇之间的距离．

如图1，在等腰直角三角形 $\mathit{ADC}$ 中， $\angle \mathit{ADC}=90°$ ， $\mathit{AD}=4$ ．点 $E$ 是 $\mathit{AD}$ 的中点，以 $\mathit{DE}$ 为边作正方形 $\mathit{DEFG}$ ，连接 $\mathit{AG}$ ， $\mathit{CE}$ ．将正方形 $\mathit{DEFG}$ 绕点 $D$ 顺时针旋转，旋转角为 $\alpha (0°<\alpha <90°)$ ．

（1）如图2，在旋转过程中，

①判断 $\mathit{\Delta AGD}$ 与 $\mathit{\Delta CED}$ 是否全等，并说明理由；

②当 $\mathit{CE}=\mathit{CD}$ 时， $\mathit{AG}$ 与 $\mathit{EF}$ 交于点 $H$ ，求 $\mathit{GH}$ 的长．

（2）如图3，延长 $\mathit{CE}$ 交直线 $\mathit{AG}$ 于点 $P$ ．

①求证： $\mathit{AG}\perp \mathit{CP}$ ；

②在旋转过程中，线段 $\mathit{PC}$ 的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

（1）证明推断：如图（1），在正方形中，点，分别在边，上，于点，点，分别在边，上，．

①求证：；

②推断：的值为　　；

（2）类比探究：如图（2），在矩形中，为常数）．将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点．试探究与之间的数量关系，并说明理由；

（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接，当时，若，，求的长．

操作体验：如图，在矩形中，点、分别在边、上，将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处．点为直线上一动点（不与、重合），过点分别作直线、的垂线，垂足分别为点和，以、为邻边构造平行四边形．

（1）如图1，求证：；

（2）特例感知：如图2，若，，当点在线段上运动时，求平行四边形的周长；

（3）类比探究：若，．

①如图3，当点在线段的延长线上运动时，试用含、的式子表示与之间的数量关系，并证明；

②如图4，当点在线段的延长线上运动时，请直接用含、的式子表示与之间的数量关系．（不要求写证明过程）