初中数学矩形的判定解答题

如图，四边形是正方形，是等腰直角三角形，点在上，且，，垂足为点．

（1）试判断与是否相等？并给出证明；

（2）若点为的中点，与垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．

已知在矩形中，的平分线与边所在的直线交于点，点是线段上一定点（其中

（1）如图1，若点在边上（不与重合），将绕点逆时针旋转后，角的两边、分别交射线于点、．

①求证：；      ②探究：、、之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．

（2）拓展：如图2，若点在的延长线上（不与重合），过点作，交射线于点，你认为（1）中、、之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请写出它们所满足的数量关系式，并说明理由．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中，点 $O$是边 $\mathit{AC}$上一个动点，过点 $O$作直线 $\mathit{EF}//\mathit{BC}$分别交 $\angle \mathit{ACB}$、外角 $\angle \mathit{ACD}$的平分线于点 $E$、 $F$．

（1）若 $\mathit{CE}=8$， $\mathit{CF}=6$，求 $\mathit{OC}$的长；

（2）连接 $\mathit{AE}$、 $\mathit{AF}$．问：当点 $O$在边 $\mathit{AC}$上运动到什么位置时，四边形 $\mathit{AECF}$是矩形？并说明理由．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，点 $D$、 $E$分别是线段 $\mathit{BC}$、 $\mathit{AD}$的中点，过点 $A$作 $\mathit{BC}$的平行线交 $\mathit{BE}$的延长线于点 $F$，连接 $\mathit{CF}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta BDE}\cong \mathit{\Delta FAE}$；

（2）求证：四边形 $\mathit{ADCF}$为矩形．

已知：如图，平行四边形 $\mathit{ABCD}$，对角线 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$相交于点 $E$，点 $G$为 $\mathit{AD}$的中点，连接 $\mathit{CG}$， $\mathit{CG}$的延长线交 $\mathit{BA}$的延长线于点 $F$，连接 $\mathit{FD}$．

（1）求证： $\mathit{AB}=\mathit{AF}$；

（2）若 $\mathit{AG}=\mathit{AB}$， $\angle \mathit{BCD}=120°$，判断四边形 $\mathit{ACDF}$的形状，并证明你的结论．

如图， $▱\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$相交于点 $O$． $E$， $F$是 $\mathit{AC}$上的两点，并且 $\mathit{AE}=\mathit{CF}$，连接 $\mathit{DE}$， $\mathit{BF}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta DOE}\cong \mathit{\Delta BOF}$；

（2）若 $\mathit{BD}=\mathit{EF}$，连接 $\mathit{EB}$， $\mathit{DF}$，判断四边形 $\mathit{EBFD}$的形状，并说明理由．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$ 中， $E$ 为 $\mathit{BC}$ 的中点，连接 $\mathit{AE}$ 并延长交 $\mathit{DC}$ 的延长线于点 $F$ ，连接 $\mathit{BF}$ ， $\mathit{AC}$ ，若 $\mathit{AD}=\mathit{AF}$ ，求证：四边形 $\mathit{ABFC}$ 是矩形．

如图，菱形 $\mathit{ABCD}$ 的对角线 $\mathit{AC}$ 与 $\mathit{BD}$ 交于点 $O$ ， $\angle \mathit{ABC}:\angle \mathit{BAD}=1:2$ ， $\mathit{BE}//\mathit{AC}$ ， $\mathit{CE}//\mathit{BD}$ ．

（1）求 $\tan \angle \mathit{DBC}$ 的值；

（2）求证：四边形 $\mathit{OBEC}$ 是矩形．

如图，点 $C$ 是 $\mathit{BE}$ 的中点，四边形 $\mathit{ABCD}$ 是平行四边形．

（1）求证：四边形 $\mathit{ACED}$ 是平行四边形；

（2）如果 $\mathit{AB}=\mathit{AE}$ ，求证：四边形 $\mathit{ACED}$ 是矩形．

如图，已知 $\mathit{BA}=\mathit{AE}=\mathit{DC}$， $\mathit{AD}=\mathit{EC}$， $\mathit{CE}\perp \mathit{AE}$，垂足为 $E$．

（1）求证： $\mathit{\Delta DCA}\cong \mathit{\Delta EAC}$；

（2）只需添加一个条件，即　　，可使四边形 $\mathit{ABCD}$为矩形．请加以证明．

如图， $\mathit{AB}$是半圆 $\mathit{AOB}$的直径， $C$是半圆上的一点， $\mathit{AD}$平分 $\angle \mathit{BAC}$交半圆于点 $D$，过点 $D$作 $\mathit{DH}\perp \mathit{AC}$与 $\mathit{AC}$的延长线交于点 $H$．

（1）求证： $\mathit{DH}$是半圆的切线；

（2）若 $\mathit{DH}=2\sqrt{5}$， $\sin \angle \mathit{BAC}=\frac{\sqrt{5}}{3}$，求半圆的直径．

如图，已知 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ABC}=90°$

（1）尺规作图：按下列要求完成作图（保留作图痕迹，请标明字母）

①作线段 $\mathit{AC}$的垂直平分线 $l$，交 $\mathit{AC}$于点 $O$；

②连接 $\mathit{BO}$并延长，在 $\mathit{BO}$的延长线上截取 $\mathit{OD}$，使得 $\mathit{OD}=\mathit{OB}$；

③连接 $\mathit{DA}$、 $\mathit{DC}$

（2）判断四边形 $\mathit{ABCD}$的形状，并说明理由．

如图， $\mathit{DB}//\mathit{AC}$，且 $\mathit{DB}=\frac{1}{2}\mathit{AC}$， $E$是 $\mathit{AC}$的中点，

（1）求证： $\mathit{BC}=\mathit{DE}$；

（2）连接 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BE}$，若要使四边形 $\mathit{DBEA}$是矩形，则需给 $\mathit{\Delta ABC}$添加什么条件，为什么？

如图，在圆 $O$ 中，弦 $\mathit{AB}$ 等于弦 $\mathit{CD}$ ，且相交于点 $P$ ，其中 $E$ 、 $F$ 为 $\mathit{AB}$ 、 $\mathit{CD}$ 中点．

（1）证明： $\mathit{OP}\perp \mathit{EF}$ ；

（2）连接 $\mathit{AF}$ 、 $\mathit{AC}$ 、 $\mathit{CE}$ ，若 $\mathit{AF}//\mathit{OP}$ ，证明：四边形 $\mathit{AFEC}$ 为矩形．

如图所示，已知平行四边形 $\mathit{ABCD}$，对角线 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$相交于点 $O$， $\angle \mathit{OBC}=\angle \mathit{OCB}$．

（1）求证：平行四边形 $\mathit{ABCD}$是矩形；

（2）请添加一个条件使矩形 $\mathit{ABCD}$为正方形．