如图，在ΔABC中，ABAC，点D、E分别是线段BC、AD的

更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度中等
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如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ，点 $D$ 、 $E$ 分别是线段 $BC$ 、 $AD$ 的中点，过点 $A$ 作 $BC$ 的平行线交 $BE$ 的延长线于点 $F$ ，连接 $CF$ ．

（1）求证： $ΔBDE ≅ ΔFAE$ ；

（2）求证：四边形 $ADCF$ 为矩形．

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如图，在四边形 $ABCD$ 中， $AD / / BC, ∠ ABC = 90^{\circ}, AD = CD, O$ 是对角线 $AC$ 的中点，连接 $BO$ 并延长交边 $CD$ 于点 $E$ .

（1）当点 $E$ 在 $CD$ 上，①求证: $△ DAC \sim △ OBC$ ；②若 $BE ⊥ CD$ ，求 $AD : BC$ 的值；

（2）若 $DE = 2, OE = 3$ ，求 $CD$ 的长.

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难度：中等

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如图，已知圆内接四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC, BD$ 交于点 $N$ ，点 $M$ 在对角线 $BD$ 上，且满足 $∠ BAM = ∠ DAN, ∠ BCM = ∠ DCN$ .求证:

（1） $M$ 为 $BD$ 的中点；

（2） $\frac{AN}{CN} = \frac{AM}{CM}$ .

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难度：较难

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如图， $△ ABC$ 是钝角三角形， $∠ A > 90^{\circ}, ⊙ O$ 是 $△ ABC$ 的外接圆，直径 $PQ$ 恰好经过 $AB$ 的中点 $M, PQ$ 与 $BC$ 的交点为 $D, ∠ CDO = 45^{\circ}, l$ 为过点 $C$ 圆的切线，作 $DE ⊥ l, CF$ 也为圆的直径.

（1）求证: $△ CFB \sim △ DCE$ ；

（2）已知 $⊙ O$ 的半径为 $3$ ，求 $A D^{2} + C D^{2}$ 的值.

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如图所示， $AB$ 是 $⊙ O$ 的一条弦， $P$ 是 $⊙ O$ 外一点， $PB$ 切 $⊙ O$ 于点 $B$ ， $PA$ 交 $⊙ O$ 于点 $C$ ，且 $AC = BC, PD ⊥ AB$ 于点 $D, E$ 是 $AB$ 的中点，求证: $PB = 2 DE$ .

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难度：中等

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如图，已知 $⊙ O$ 和 $⊙ O^{'}$ 相交于 $A, B$ 两点，过点 $A$ 作 $⊙ O^{'}$ 的切线交 $⊙ O$ 于点 $C$ ，过点 $B$ 作两圆的割线分别交 $⊙ O, ⊙ O^{'}$ 于点 $E, F, EF$ 与 $AC$ 相交于点 $P$ .

（1）求证: $PA \cdot PE = PC \cdot PF$ ；

（2）求证: $\frac{P E^{2}}{P C^{2}} = \frac{PF}{PB}$ ；

（3）当 $⊙ O$ 与 $⊙ O^{'}$ 为等圆时，且 $PC : CE : EP = 3 : 4 : 5$ 时，求 $△ PEC$ 与 $△ FAP$ 的面积的比值.

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