初中数学菱形的判定与性质试题

如图， $E$， $F$是正方形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$上的两点，且 $\mathit{AE}=\mathit{CF}$．

（1）求证：四边形 $\mathit{BEDF}$是菱形；

（2）若正方形边长为4， $\mathit{AE}=\sqrt{2}$，求菱形 $\mathit{BEDF}$的面积．

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AD}=5$， $\mathit{BC}=\mathit{CD}$且 $\mathit{BC}>\mathit{AB}$， $\mathit{BD}=8$．给出以下判断：

① $\mathit{AC}$垂直平分 $\mathit{BD}$；

②四边形 $\mathit{ABCD}$的面积 $S=\mathit{AC}·\mathit{BD}$；

③顺次连接四边形 $\mathit{ABCD}$的四边中点得到的四边形可能是正方形；

④当 $A$， $B$， $C$， $D$四点在同一个圆上时，该圆的半径为 $\frac{25}{6}$；

⑤将 $\mathit{\Delta ABD}$沿直线 $\mathit{BD}$对折，点 $A$落在点 $E$处，连接 $\mathit{BE}$并延长交 $\mathit{CD}$于点 $F$，当 $\mathit{BF}\perp \mathit{CD}$时，点 $F$到直线 $\mathit{AB}$的距离为 $\frac{678}{125}$．

其中正确的是　        　．（写出所有正确判断的序号）

如图， $\mathit{AE}//\mathit{BF}$， $\mathit{AC}$平分 $\angle \mathit{BAE}$，且交 $\mathit{BF}$于点 $C$， $\mathit{BD}$平分 $\angle \mathit{ABF}$，且交 $\mathit{AE}$于点 $D$，连接 $\mathit{CD}$．

（1）求证：四边形 $\mathit{ABCD}$是菱形；

（2）若 $\angle \mathit{ADB}=30°$， $\mathit{BD}=6$，求 $\mathit{AD}$的长．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $D$为 $\mathit{AB}$边上的一点，以 $\mathit{AD}$为直径的 $\odot O$交 $\mathit{BC}$于点 $E$，交 $\mathit{AC}$于点 $F$，过点 $C$作 $\mathit{CG}\perp \mathit{AB}$交 $\mathit{AB}$于点 $G$，交 $\mathit{AE}$于点 $H$，过点 $E$的弦 $\mathit{EP}$交 $\mathit{AB}$于点 $Q(\mathit{EP}$不是直径），点 $Q$为弦 $\mathit{EP}$的中点，连结 $\mathit{BP}$， $\mathit{BP}$恰好为 $\odot O$的切线．

（1）求证： $\mathit{BC}$是 $\odot O$的切线．

（2）求证： $\stackrel{̂}{\mathit{EF}}=\stackrel{̂}{\mathit{ED}}$．

（3）若 $\sin \angle \mathit{ABC}==\frac{3}{5}$， $\mathit{AC}=15$，求四边形 $\mathit{CHQE}$的面积．

如图， $A$、 $B$、 $C$是 $\odot O$上的三点，且四边形 $\mathit{OABC}$是菱形．若点 $D$是圆上异于 $A$、 $B$、 $C$的另一点，则 $\angle \mathit{ADC}$的度数是　     　．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{BC}=2$，点 $E$、 $F$分别在 $\mathit{AB}$、 $\mathit{CD}$上，且 $\mathit{BE}=\mathit{DF}=\frac{3}{2}$．

（1）求证：四边形 $\mathit{AECF}$是菱形；

（2）求线段 $\mathit{EF}$的长．

如图①，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$， $\mathit{AC}=3$， $\mathit{BC}=4$．求作菱形 $\mathit{DEFG}$，使点 $D$在边 $\mathit{AC}$上，点 $E$、 $F$在边 $\mathit{AB}$上，点 $G$在边 $\mathit{BC}$上．

小明的作法

1．如图②，在边 $\mathit{AC}$上取一点 $D$，过点 $D$作 $\mathit{DG}//\mathit{AB}$交 $\mathit{BC}$于点 $G$．

2．以点 $D$为圆心， $\mathit{DG}$长为半径画弧，交 $\mathit{AB}$于点 $E$．

3．在 $\mathit{EB}$上截取 $\mathit{EF}=\mathit{ED}$，连接 $\mathit{FG}$，则四边形 $\mathit{DEFG}$为所求作的菱形．

（1）证明小明所作的四边形 $\mathit{DEFG}$是菱形．

（2）小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点 $D$的位置变化而变化 $\dots \dots$请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的 $\mathit{CD}$的长的取值范围．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{AC}$与 $\odot O$交于点 $F$，弦 $\mathit{AD}$平分 $\angle \mathit{BAC}$， $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$，垂足为 $E$．

（1）试判断直线 $\mathit{DE}$与 $\odot O$的位置关系，并说明理由；

（2）若 $\odot O$的半径为2， $\angle \mathit{BAC}=60°$，求线段 $\mathit{EF}$的长．

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle \mathit{BAC}=90°$， $E$是 $\mathit{BC}$的中点， $\mathit{AD}//\mathit{BC}$， $\mathit{AE}//\mathit{DC}$， $\mathit{EF}\perp \mathit{CD}$于点 $F$．

（1）求证：四边形 $\mathit{AECD}$是菱形；

（2）若 $\mathit{AB}=6$， $\mathit{BC}=10$，求 $\mathit{EF}$的长．

如图，两张宽度相等的纸条叠放在一起，重叠部分构成四边形 $\mathit{ABCD}$．

（1）求证：四边形 $\mathit{ABCD}$是菱形；

（2）若纸条宽 $3\mathit{cm}$， $\angle \mathit{ABC}=60°$，求四边形 $\mathit{ABCD}$的面积．

如图， $▱\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=2$， $\mathit{AD}=1$， $\angle \mathit{ADC}=60°$，将 $▱\mathit{ABCD}$沿过点 $A$的直线 $l$折叠，使点 $D$落到 $\mathit{AB}$边上的点 $D\text{'}$处，折痕交 $\mathit{CD}$边于点 $E$．

（1）求证：四边形 $\mathit{BCED}\text{'}$是菱形；

（2）若点 $P$是直线 $l$上的一个动点，请计算 $\mathit{PD}\text{'}+\mathit{PB}$的最小值．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$为矩形， $G$是对角线 $\mathit{BD}$的中点．连接 $\mathit{GC}$并延长至 $F$，使 $\mathit{CF}=\mathit{GC}$，以 $\mathit{DC}$， $\mathit{CF}$为邻边作菱形 $\mathit{DCFE}$，连接 $\mathit{CE}$．

（1）判断四边形 $\mathit{CEDG}$的形状，并证明你的结论．

（2）连接 $\mathit{DF}$，若 $\mathit{BC}=\sqrt{3}$，求 $\mathit{DF}$的长．

如图，在平行四边形 $\mathit{ABCD}$中， $E$、 $F$分别是 $\mathit{AB}$、 $\mathit{BC}$的中点， $\mathit{CE}\perp \mathit{AB}$，垂足为 $E$， $\mathit{AF}\perp \mathit{BC}$，垂足为 $F$， $\mathit{AF}$与 $\mathit{CE}$相交于点 $G$．

（1）证明： $\mathit{\Delta CFG}\cong \mathit{\Delta AEG}$．

（2）若 $\mathit{AB}=4$，求四边形 $\mathit{AGCD}$的对角线 $\mathit{GD}$的长．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BD}$相交于点 $O$， $\mathit{AB}:\mathit{BC}=3:2$，过点 $B$作 $\mathit{BE}//\mathit{AC}$，过点 $C$作 $\mathit{CE}//\mathit{DB}$， $\mathit{BE}$、 $\mathit{CE}$交于点 $E$，连接 $\mathit{DE}$，则 $\tan \angle \mathit{EDC}=($　　 $)$

A． $\frac{2}{9}$B． $\frac{1}{4}$C． $\frac{\sqrt{2}}{6}$D． $\frac{3}{10}$

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BD}$相交于点 $O$， $\mathit{AB}:\mathit{BC}=2:1$，且 $\mathit{BE}//\mathit{AC}$， $\mathit{CE}//\mathit{DB}$，连接 $\mathit{DE}$，则 $\tan \angle \mathit{EDC}=($　　 $)$

A． $\frac{1}{4}$B． $\frac{1}{6}$C． $\frac{\sqrt{2}}{6}$D． $\frac{3}{10}$