初中数学直角三角形的性质试题

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$， $\angle \mathit{ACB}=90°$，点 $D$， $E$分别在 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$上，且 $\mathit{CD}=\mathit{CE}$．

（1）如图1，求证： $\angle \mathit{CAE}=\angle \mathit{CBD}$；

（2）如图2， $F$是 $\mathit{BD}$的中点，求证： $\mathit{AE}\perp \mathit{CF}$；

（3）如图3， $F$， $G$分别是 $\mathit{BD}$， $\mathit{AE}$的中点，若 $\mathit{AC}=2\sqrt{2}$， $\mathit{CE}=1$，求 $\mathit{\Delta CGF}$的面积．

如图，已知在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}>90°$，点 $D$为 $\mathit{BC}$的中点，点 $E$在 $\mathit{AC}$上，将 $\mathit{\Delta CDE}$沿 $\mathit{DE}$折叠，使得点 $C$恰好落在 $\mathit{BA}$的延长线上的点 $F$处，连接 $\mathit{AD}$，则下列结论不一定正确的是 $($　　 $)$

A． $\mathit{AE}=\mathit{EF}$B． $\mathit{AB}=2\mathit{DE}$

C． $\mathit{\Delta ADF}$和 $\mathit{\Delta ADE}$的面积相等D． $\mathit{\Delta ADE}$和 $\mathit{\Delta FDE}$的面积相等

在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利用了如图，该图中，四边形 $\mathit{ABCD}$是矩形， $E$是 $\mathit{BA}$延长线上一点， $F$是 $\mathit{CE}$上一点， $\angle \mathit{ACF}=\angle \mathit{AFC}$， $\angle \mathit{FAE}=\angle \mathit{FEA}$．若 $\angle \mathit{ACB}=21°$，则 $\angle \mathit{ECD}$的度数是 $($　　 $)$

A． $7°$B． $21°$C． $23°$D． $24°$

如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为 $S_1$，另两张直角三角形纸片的面积都为 $S_2$，中间一张正方形纸片的面积为 $S_3$，则这个平行四边形的面积一定可以表示为 $($　　 $)$

A． $4S_1$B． $4S_2$C． $4S_2+S_3$D． $3S_1+4S_3$

对于坐标平面内的点，现将该点向右平移1个单位，再向上平移2个单位，这种点的运动称为点 $A$的斜平移，如点 $P(2,3)$经1次斜平移后的点的坐标为 $(3,5)$，已知点 $A$的坐标为 $(1,0)$．

（1）分别写出点 $A$经1次，2次斜平移后得到的点的坐标．

（2）如图，点 $M$是直线 $l$上的一点，点 $A$关于点 $M$的对称点为点 $B$，点 $B$关于直线 $l$的对称点为点 $C$．

①若 $A$、 $B$、 $C$三点不在同一条直线上，判断 $\mathit{\Delta ABC}$是否是直角三角形？请说明理由．

②若点 $B$由点 $A$经 $n$次斜平移后得到，且点 $C$的坐标为 $(7,6)$，求出点 $B$的坐标及 $n$的值．

在线段 $\mathit{AB}$的同侧作射线 $\mathit{AM}$和 $\mathit{BN}$，若 $\angle \mathit{MAB}$与 $\angle \mathit{NBA}$的平分线分别交射线 $\mathit{BN}$， $\mathit{AM}$于点 $E$， $F$， $\mathit{AE}$和 $\mathit{BF}$交于点 $P$．如图，点点同学发现当射线 $\mathit{AM}$， $\mathit{BN}$交于点 $C$；且 $\angle \mathit{ACB}=60°$时，有以下两个结论：

① $\angle \mathit{APB}=120°$；② $\mathit{AF}+\mathit{BE}=\mathit{AB}$．

那么，当 $\mathit{AM}//\mathit{BN}$时：

（1）点点发现的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请求出 $\angle \mathit{APB}$的度数，写出 $\mathit{AF}$， $\mathit{BE}$， $\mathit{AB}$长度之间的等量关系，并给予证明；

（2）设点 $Q$为线段 $\mathit{AE}$上一点， $\mathit{QB}=5$，若 $\mathit{AF}+\mathit{BE}=16$，四边形 $\mathit{ABEF}$的面积为 $32\sqrt{3}$，求 $\mathit{AQ}$的长．

已知：如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，点 $P$是底边 $\mathit{BC}$上一点且满足 $\mathit{PA}=\mathit{PB}$， $\odot O$是 $\mathit{\Delta PAB}$的外接圆，过点 $P$作 $\mathit{PD}//\mathit{AB}$交 $\mathit{AC}$于点 $D$．

（1）求证： $\mathit{PD}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{BC}=8$， $\tan \angle \mathit{ABC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，求 $\odot O$的半径．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ACB}$中， $\angle C=90°$， $\mathit{AC}=3\mathit{cm}$， $\mathit{BC}=4\mathit{cm}$，以 $\mathit{BC}$为直径作 $\odot O$交 $\mathit{AB}$于点 $D$．

（1）求线段 $\mathit{AD}$的长度；

（2）点 $E$是线段 $\mathit{AC}$上的一点，试问：当点 $E$在什么位置时，直线 $\mathit{ED}$与 $\odot O$相切？请说明理由．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$，垂足为 $D$， $\mathit{AF}$平分 $\angle \mathit{CAB}$，交 $\mathit{CD}$于点 $E$，交 $\mathit{CB}$于点 $F$．若 $\mathit{AC}=3$， $\mathit{AB}=5$，则 $\mathit{CE}$的长为 $($　　 $)$

A． $\frac{3}{2}$B． $\frac{4}{3}$C． $\frac{5}{3}$D． $\frac{8}{5}$

如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是：

（1）作线段 $\mathit{AB}$，分别以 $A$， $B$为圆心，以 $\mathit{AB}$长为半径作弧，两弧的交点为 $C$；

（2）以 $C$为圆心，仍以 $\mathit{AB}$长为半径作弧交 $\mathit{AC}$的延长线于点 $D$；

（3）连接 $\mathit{BD}$， $\mathit{BC}$．

下列说法不正确的是 $($　　 $)$

A． $\angle \mathit{CBD}=30°$B． $S_{\mathit{\Delta BDC}}=\frac{\sqrt{3}}{4}A{B}^2$

C．点 $C$是 $\mathit{\Delta ABD}$的外心D． ${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}D=1$

已知正方形 $\mathit{ABCD}$与正方形 $\mathit{CEFG}$， $M$是 $\mathit{AF}$的中点，连接 $\mathit{DM}$， $\mathit{EM}$．

（1）如图1，点 $E$在 $\mathit{CD}$上，点 $G$在 $\mathit{BC}$的延长线上，请判断 $\mathit{DM}$， $\mathit{EM}$的数量关系与位置关系，并直接写出结论；

（2）如图2，点 $E$在 $\mathit{DC}$的延长线上，点 $G$在 $\mathit{BC}$上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论；

（3）将图1中的正方形 $\mathit{CEFG}$绕点 $C$旋转，使 $D$， $E$， $F$三点在一条直线上，若 $\mathit{AB}=13$， $\mathit{CE}=5$，请画出图形，并直接写出 $\mathit{MF}$的长．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{CD}$为 $\mathit{AB}$边上的高， $\mathit{CE}$为 $\mathit{AB}$边上的中线， $\mathit{AD}=2$， $\mathit{CE}=5$，则 $\mathit{CD}=($　　 $)$

A．2B．3C．4D． $2\sqrt{3}$

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle \mathit{DAB}=90°$， $\mathit{DB}=\mathit{DC}$，点 $E$、 $F$分别为 $\mathit{DB}$、 $\mathit{BC}$的中点，连接 $\mathit{AE}$、 $\mathit{EF}$、 $\mathit{AF}$．

（1）求证： $\mathit{AE}=\mathit{EF}$；

（2）当 $\mathit{AF}=\mathit{AE}$时，设 $\angle \mathit{ADB}=\alpha$， $\angle \mathit{CDB}=\beta$，求 $\alpha$， $\beta$之间的数量关系式．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\angle A=30°$， $\mathit{BC}=4$，以点 $C$为圆心， $\mathit{CB}$长为半径作弧，交 $\mathit{AB}$于点 $D$；再分别以点 $B$和点 $D$为圆心，大于 $\frac{1}{2}\mathit{BD}$的长为半径作弧，两弧相交于点 $E$，作射线 $\mathit{CE}$交 $\mathit{AB}$于点 $F$，则 $\mathit{AF}$的长为 $($　　 $)$

A．5B．6C．7D．8

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}=90°$， $\mathit{AB}=2$．将 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $A$按顺时针方向旋转至

△ $A{B}_1{C}_1$的位置，点 $B_1$恰好落在边 $\mathit{BC}$的中点处，则 $C{C}_1$的长为　 　．