初中数学全等三角形的判定与性质试题

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$相交于点 $O$，过点 $B$作 $\mathit{BF}\perp \mathit{AC}$于点 $M$，交 $\mathit{CD}$于点 $F$，过点 $D$作 $\mathit{DE}//\mathit{BF}$交 $\mathit{AC}$于点 $N$．交 $\mathit{AB}$于点 $E$，连接 $\mathit{FN}$， $\mathit{EM}$．有下列结论：①四边形 $\mathit{NEMF}$为平行四边形；② $D{N}^2=\mathit{MC}\cdot \mathit{NC}$；③ $\mathit{\Delta DNF}$为等边三角形；④当 $\mathit{AO}=\mathit{AD}$时，四边形 $\mathit{DEBF}$是菱形．其中，正确结论的序号 　　．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是平行四边形， $\mathit{AD}=\mathit{AC}$， $\mathit{AD}\perp \mathit{AC}$， $E$是 $\mathit{AB}$的中点， $F$是 $\mathit{AC}$延长线上一点．

（1）若 $\mathit{ED}\perp \mathit{EF}$，求证： $\mathit{ED}=\mathit{EF}$；

（2）在（1）的条件下，若 $\mathit{DC}$的延长线与 $\mathit{FB}$交于点 $P$，试判定四边形 $\mathit{ACPE}$是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）；

（3）若 $\mathit{ED}=\mathit{EF}$， $\mathit{ED}$与 $\mathit{EF}$垂直吗？若垂直给出证明，若不垂直说明理由．

如图，四边形是正方形，点为对角线的中点．

（1）问题解决：如图①，连接，分别取，的中点，，连接，则与的数量关系是　 　，位置关系是　　；

（2）问题探究：如图②，△是将图①中的绕点按顺时针方向旋转得到的三角形，连接，点，分别为，的中点，连接，．判断的形状，并证明你的结论；

（3）拓展延伸：如图③，△是将图①中的绕点按逆时针方向旋转得到的三角形，连接，点，分别为，的中点，连接，．若正方形的边长为1，求的面积．

如图，正方形纸片 $\mathit{ABCD}$ 的边长为12，点 $F$ 是 $\mathit{AD}$ 上一点，将 $\mathit{\Delta CDF}$ 沿 $\mathit{CF}$ 折叠，点 $D$ 落在点 $G$ 处，连接 $\mathit{DG}$ 并延长交 $\mathit{AB}$ 于点 $E$ ．若 $\mathit{AE}=5$ ，则 $\mathit{GE}$ 的长为 　　．

在四边形 $\mathit{ABCD}$中，对角线 $\mathit{AC}$平分 $\angle \mathit{BAD}$．

【探究发现】

（1）如图①，若 $\angle \mathit{BAD}=120°$， $\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{ADC}=90°$．求证： $\mathit{AD}+\mathit{AB}=\mathit{AC}$；

【拓展迁移】

（2）如图②，若 $\angle \mathit{BAD}=120°$， $\angle \mathit{ABC}+\angle \mathit{ADC}=180°$．

①猜想 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AD}$、 $\mathit{AC}$三条线段的数量关系，并说明理由；

②若 $\mathit{AC}=10$，求四边形 $\mathit{ABCD}$的面积．

有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．

（1）如图1，在半对角四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle B=\frac{1}{2}\angle D$， $\angle C=\frac{1}{2}\angle A$，求 $\angle B$与 $\angle C$的度数之和；

（2）如图2，锐角 $\mathit{\Delta ABC}$内接于 $\odot O$，若边 $\mathit{AB}$上存在一点 $D$，使得 $\mathit{BD}=\mathit{BO}$， $\angle \mathit{OBA}$的平分线交 $\mathit{OA}$于点 $E$，连接 $\mathit{DE}$并延长交 $\mathit{AC}$于点 $F$， $\angle \mathit{AFE}=2\angle \mathit{EAF}$．求证：四边形 $\mathit{DBCF}$是半对角四边形；

（3）如图3，在（2）的条件下，过点 $D$作 $\mathit{DG}\perp \mathit{OB}$于点 $H$，交 $\mathit{BC}$于点 $G$，当 $\mathit{DH}=\mathit{BG}$时，求 $\mathit{\Delta BGH}$与 $\mathit{\Delta ABC}$的面积之比．

如图，在平面直角坐标系中，四边形的边在轴上，在轴上．为坐标原点，，线段，的长分别是方程的两个根，．

（1）求点，的坐标；

（2）为上一点，为上一点，，将翻折，使点落在上的点处，双曲线的一个分支过点．求的值；

（3）在（2）的条件下，为坐标轴上一点，在平面内是否存在点，使以，，，为顶点四边形为矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线过点，交轴于点和点（点在点的左侧），抛物线的顶点为，对称轴交轴于点，连接．

（1）直接写出的值，点的坐标和抛物线对称轴的表达式；

（2）若点是抛物线对称轴上的点，当是等腰三角形时，求点的坐标；

（3）点是抛物线上的动点，连接，，将沿所在的直线对折，点落在坐标平面内的点处．求当点恰好落在直线上时点的横坐标．

如图所示，拋物线与轴交于、两点，与轴交于点，且点的坐标为，点的坐标为，对称轴为直线．点是抛物线上一个动点，设点的横坐标为，连接，，，．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）当的面积等于的面积的时，求的值；

（3）在（2）的条件下，若点是轴上一动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$ 是边长为1的等边三角形， $D$ 、 $E$ 为线段 $\mathit{AC}$ 上两动点，且 $\angle \mathit{DBE}=30°$ ，过点 $D$ 、 $E$ 分别作 $\mathit{AB}$ 、 $\mathit{BC}$ 的平行线相交于点 $F$ ，分别交 $\mathit{BC}$ 、 $\mathit{AB}$ 于点 $H$ 、 $G$ ．现有以下结论： $S_{\mathit{\Delta ABC}}=\frac{\sqrt{3}}{4}$ ；②当点 $D$ 与点 $C$ 重合时， $\mathit{FH}=\frac{1}{2}$ ；③ $\mathit{AE}+\mathit{CD}=\sqrt{3}\mathit{DE}$ ；④当 $\mathit{AE}=\mathit{CD}$ 时，四边形 $\mathit{BHFG}$ 为菱形，其中正确结论为 $($ 　　 $)$

A．

①②③

B．

①②④

C．

①②③④

D．

②③④

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$中，对角线 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$交于点 $O$，已知 $\mathit{OA}=\mathit{OC}$， $\mathit{OB}=\mathit{OD}$，过点 $O$作 $\mathit{EF}\perp \mathit{BD}$，分别交 $\mathit{AB}$、 $\mathit{DC}$于点 $E$， $F$，连接 $\mathit{DE}$， $\mathit{BF}$．

（1）求证：四边形 $\mathit{DEBF}$是菱形：

（2）设 $\mathit{AD}//\mathit{EF}$， $\mathit{AD}+\mathit{AB}=12$， $\mathit{BD}=4\sqrt{3}$，求 $\mathit{AF}$的长．

小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形 $\mathit{ABCD}$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $\alpha (0°<\alpha ⩽90°)$ ，得到矩形 $\mathit{AB}\text{'}C\text{'}D\text{'}$ ，连结 $\mathit{BD}$ ．

$[$ 探究 $1]$ 如图1，当 $\alpha =90°$ 时，点 $C\text{'}$ 恰好在 $\mathit{DB}$ 延长线上．若 $\mathit{AB}=1$ ，求 $\mathit{BC}$ 的长．

$[$ 探究 $2]$ 如图2，连结 $\mathit{AC}\text{'}$ ，过点 $D\text{'}$ 作 $D\text{'}M//\mathit{AC}\text{'}$ 交 $\mathit{BD}$ 于点 $M$ ．线段 $D\text{'}M$ 与 $\mathit{DM}$ 相等吗？请说明理由．

$[$ 探究 $3]$ 在探究2的条件下，射线 $\mathit{DB}$ 分别交 $\mathit{AD}\text{'}$ ， $\mathit{AC}\text{'}$ 于点 $P$ ， $N$ （如图 $3)$ ，发现线段 $\mathit{DN}$ ， $\mathit{MN}$ ， $\mathit{PN}$ 存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．

已知在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $O$为 $\mathit{BC}$边的中点，连接 $\mathit{AO}$，将 $\mathit{\Delta AOC}$绕点 $O$顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到 $\mathit{\Delta EOF}$，连接 $\mathit{AE}$， $\mathit{CF}$．

（1）如图1，当 $\angle \mathit{BAC}=90°$且 $\mathit{AB}=\mathit{AC}$时，则 $\mathit{AE}$与 $\mathit{CF}$满足的数量关系是 　　；

（2）如图2，当 $\angle \mathit{BAC}=90°$且 $\mathit{AB}\ne \mathit{AC}$时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

（3）如图3，延长 $\mathit{AO}$到点 $D$，使 $\mathit{OD}=\mathit{OA}$，连接 $\mathit{DE}$，当 $\mathit{AO}=\mathit{CF}=5$， $\mathit{BC}=6$时，求 $\mathit{DE}$的长．

【推理】

如图1，在正方形 $\mathit{ABCD}$ 中，点 $E$ 是 $\mathit{CD}$ 上一动点，将正方形沿着 $\mathit{BE}$ 折叠，点 $C$ 落在点 $F$ 处，连结 $\mathit{BE}$ ， $\mathit{CF}$ ，延长 $\mathit{CF}$ 交 $\mathit{AD}$ 于点 $G$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta BCE}\cong \mathit{\Delta CDG}$ ．

【运用】

（2）如图2，在【推理】条件下，延长 $\mathit{BF}$ 交 $\mathit{AD}$ 于点 $H$ ．若 $\frac{\mathit{HD}}{\mathit{HF}}=\frac{4}{5}$ ， $\mathit{CE}=9$ ，求线段 $\mathit{DE}$ 的长．

【拓展】

（3）将正方形改成矩形，同样沿着 $\mathit{BE}$ 折叠，连结 $\mathit{CF}$ ，延长 $\mathit{CF}$ ， $\mathit{BF}$ 交直线 $\mathit{AD}$ 于 $G$ ， $H$ 两点，若 $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{BC}}=k$ ， $\frac{\mathit{HD}}{\mathit{HF}}=\frac{4}{5}$ ，求 $\frac{\mathit{DE}}{\mathit{EC}}$ 的值（用含 $k$ 的代数式表示）．

已知四边形 $\mathit{ABCD}$ 是边长为1的正方形，点 $E$ 是射线 $\mathit{BC}$ 上的动点，以 $\mathit{AE}$ 为直角边在直线 $\mathit{BC}$ 的上方作等腰直角三角形 $\mathit{AEF}$ ， $\angle \mathit{AEF}=90°$ ，设 $\mathit{BE}=m$ ．

（1）如图，若点 $E$ 在线段 $\mathit{BC}$ 上运动， $\mathit{EF}$ 交 $\mathit{CD}$ 于点 $P$ ， $\mathit{AF}$ 交 $\mathit{CD}$ 于点 $Q$ ，连结 $\mathit{CF}$ ，

①当 $m=\frac{1}{3}$ 时，求线段 $\mathit{CF}$ 的长；

②在 $\mathit{\Delta PQE}$ 中，设边 $\mathit{QE}$ 上的高为 $h$ ，请用含 $m$ 的代数式表示 $h$ ，并求 $h$ 的最大值；

（2）设过 $\mathit{BC}$ 的中点且垂直于 $\mathit{BC}$ 的直线被等腰直角三角形 $\mathit{AEF}$ 截得的线段长为 $y$ ，请直接写出 $y$ 与 $m$ 的关系式．