已知四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是射线BC上的动点

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更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度困难
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已知四边形 $ABCD$ 是边长为1的正方形，点 $E$ 是射线 $BC$ 上的动点，以 $AE$ 为直角边在直线 $BC$ 的上方作等腰直角三角形 $AEF$ ， $∠ AEF = 90 °$ ，设 $BE = m$ ．

（1）如图，若点 $E$ 在线段 $BC$ 上运动， $EF$ 交 $CD$ 于点 $P$ ， $AF$ 交 $CD$ 于点 $Q$ ，连结 $CF$ ，

①当 $m = \frac{1}{3}$ 时，求线段 $CF$ 的长；

②在 $ΔPQE$ 中，设边 $QE$ 上的高为 $h$ ，请用含 $m$ 的代数式表示 $h$ ，并求 $h$ 的最大值；

（2）设过 $BC$ 的中点且垂直于 $BC$ 的直线被等腰直角三角形 $AEF$ 截得的线段长为 $y$ ，请直接写出 $y$ 与 $m$ 的关系式．

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（1）求抛物线的解析式；

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【问题引入】

（1）若点 $O$ 是 $AC$ 的中点， $\frac{AM}{BM} = \frac{1}{3}$ ，求 $\frac{CN}{BN}$ 的值；

温馨提示：过点 $A$ 作 $MN$ 的平行线交 $BN$ 的延长线于点 $G$ ．

【探索研究】

（2）若点 $O$ 是 $AC$ 上任意一点（不与 $A$ ， $C$ 重合），求证： $\frac{AM}{MB} \cdot \frac{BN}{NC} \cdot \frac{CO}{OA} = 1$ ；

【拓展应用】

（3）如图2所示，点 $P$ 是 $ΔABC$ 内任意一点，射线 $AP$ ， $BP$ ， $CP$ 分别交 $BC$ ， $AC$ ， $AB$ 于点 $D$ ， $E$ ， $F$ ，若 $\frac{AF}{BF} = \frac{1}{3}$ ， $\frac{BD}{CD} = \frac{1}{2}$ ，求 $\frac{AE}{CE}$ 的值．

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如图所示，直线 $DP$ 和圆 $O$ 相切于点 $C$ ，交直径 $AE$ 的延长线于点 $P$ ．过点 $C$ 作 $AE$ 的垂线，交 $AE$ 于点 $F$ ，交圆 $O$ 于点 $B$ ．作平行四边形 $ABCD$ ，连接 $BE$ ， $DO$ ， $CO$ ．

（1）求证： $DA = DC$ ；

（2）求 $∠ P$ 及 $∠ AEB$ 的大小．

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