初中数学全等三角形的判定与性质解答题

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AD}//\mathit{BC}$ ， $\angle \mathit{BAD}=90°$ ， $\mathit{CB}=\mathit{CD}$ ，连接 $\mathit{BD}$ ，以点 $B$ 为圆心， $\mathit{BA}$ 长为半径作 $\odot B$ ，交 $\mathit{BD}$ 于点 $E$ ．

（1）试判断 $\mathit{CD}$ 与 $\odot B$ 的位置关系，并说明理由；

（2）若 $\mathit{AB}=2\sqrt{3}$ ， $\angle \mathit{BCD}=60°$ ，求图中阴影部分的面积．

在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{CD}$是中线， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$，一个以点 $D$为顶点的 $45°$角绕点 $D$旋转，使角的两边分别与 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$的延长线相交，交点分别为点 $E$、 $F$， $\mathit{DF}$与 $\mathit{AC}$交于点 $M$， $\mathit{DE}$与 $\mathit{BC}$交于点 $N$．

（1）如图1，若 $\mathit{CE}=\mathit{CF}$，求证： $\mathit{DE}=\mathit{DF}$；

（2）如图2，在 $\angle \mathit{EDF}$绕点 $D$旋转的过程中，试证明 $C{D}^2=\mathit{CE}·\mathit{CF}$恒成立；

（3）若 $\mathit{CD}=2$， $\mathit{CF}=\sqrt{2}$，求 $\mathit{DN}$的长．

如图，已知四边形 $\mathit{ABCD}$和四边形 $\mathit{DEFG}$为正方形，点 $E$在线段 $\mathit{DC}$上，点 $A$， $D$， $G$在同一直线上，且 $\mathit{AD}=3$， $\mathit{DE}=1$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{CG}$， $\mathit{AE}$，并延长 $\mathit{AE}$交 $\mathit{CG}$于点 $H$．

（1）求 $\sin \angle \mathit{EAC}$的值．

（2）求线段 $\mathit{AH}$的长．

如图，已知 $\angle \mathit{AOB}=60°$，在 $\angle \mathit{AOB}$的平分线 $\mathit{OM}$上有一点 $C$，将一个 $120°$角的顶点与点 $C$重合，它的两条边分别与直线 $\mathit{OA}$、 $\mathit{OB}$相交于点 $D$、 $E$．

（1）当 $\angle \mathit{DCE}$绕点 $C$旋转到 $\mathit{CD}$与 $\mathit{OA}$垂直时（如图 $1)$，请猜想 $\mathit{OE}+\mathit{OD}$与 $\mathit{OC}$的数量关系，并说明理由；

（2）当 $\angle \mathit{DCE}$绕点 $C$旋转到 $\mathit{CD}$与 $\mathit{OA}$不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；

（3）当 $\angle \mathit{DCE}$绕点 $C$旋转到 $\mathit{CD}$与 $\mathit{OA}$的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段 $\mathit{OD}$、 $\mathit{OE}$与 $\mathit{OC}$之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

如图，在等边三角形 $\mathit{ABC}$中，点 $E$是边 $\mathit{AC}$上一定点，点 $D$是直线 $\mathit{BC}$上一动点，以 $\mathit{DE}$为一边作等边三角形 $\mathit{DEF}$，连接 $\mathit{CF}$．

【问题解决】

如图1，若点 $D$在边 $\mathit{BC}$上，求证： $\mathit{CE}+\mathit{CF}=\mathit{CD}$；

【类比探究】

如图2，若点 $D$在边 $\mathit{BC}$的延长线上，请探究线段 $\mathit{CE}$， $\mathit{CF}$与 $\mathit{CD}$之间存在怎样的数量关系？并说明理由．

已知：如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，点 $M$是斜边 $\mathit{AB}$的中点， $\mathit{MD}//\mathit{BC}$，且 $\mathit{MD}=\mathit{CM}$， $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$于点 $E$，连接 $\mathit{AD}$、 $\mathit{CD}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta MED}\backsim \mathit{\Delta BCA}$；

（2）求证： $\mathit{\Delta AMD}\cong \mathit{\Delta CMD}$；

（3）设 $\mathit{\Delta MDE}$的面积为 $S_1$，四边形 $\mathit{BCMD}$的面积为 $S_2$，当 $S_2=\frac{17}{5}{S}_1$时，求 $\cos \angle \mathit{ABC}$的值．

如图，已知 $\angle 1=\angle 2$， $\angle B=\angle D$，求证： $\mathit{CB}=\mathit{CD}$．

如图1，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle A=90°$， $\mathit{AB}=\mathit{AC}=\sqrt{2}+1$，点 $D$， $E$分别在边 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$上，且 $\mathit{AD}=\mathit{AE}=1$，连接 $\mathit{DE}$．现将 $\mathit{\Delta ADE}$绕点 $A$顺时针方向旋转，旋转角为 $\alpha (0°<\alpha <360°)$，如图2，连接 $\mathit{CE}$， $\mathit{BD}$， $\mathit{CD}$．

（1）当 $0°<\alpha <180°$时，求证： $\mathit{CE}=\mathit{BD}$；

（2）如图3，当 $\alpha =90°$时，延长 $\mathit{CE}$交 $\mathit{BD}$于点 $F$，求证： $\mathit{CF}$垂直平分 $\mathit{BD}$；

（3）在旋转过程中，求 $\mathit{\Delta BCD}$的面积的最大值，并写出此时旋转角 $\alpha$的度数．

如图，已知四边形 $\mathit{ABCD}$是平行四边形，点 $E$， $F$分别是 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$上的点， $\mathit{AE}=\mathit{CF}$，并且 $\angle \mathit{AED}=\angle \mathit{CFD}$．

求证：（1） $\mathit{\Delta AED}\cong \mathit{\Delta CFD}$；

（2）四边形 $\mathit{ABCD}$是菱形．

在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle B+\angle D=180°$，对角线 $\mathit{AC}$平分 $\angle \mathit{BAD}$．

（1）如图1，若 $\angle \mathit{DAB}=120°$，且 $\angle B=90°$，试探究边 $\mathit{AD}$、 $\mathit{AB}$与对角线 $\mathit{AC}$的数量关系并说明理由．

（2）如图2，若将（1）中的条件“ $\angle B=90°$”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由．

（3）如图3，若 $\angle \mathit{DAB}=90°$，探究边 $\mathit{AD}$、 $\mathit{AB}$与对角线 $\mathit{AC}$的数量关系并说明理由．

如图，已知 $\mathit{AB}=\mathit{AD}$， $\mathit{AC}=\mathit{AE}$， $\angle \mathit{BAE}=\angle \mathit{DAC}$．

求证： $\angle C=\angle E$．

如图①，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AC}\perp \mathit{BD}$于点 $E$， $\mathit{AB}=\mathit{AC}=\mathit{BD}$，点 $M$为 $\mathit{BC}$中点， $N$为线段 $\mathit{AM}$上的点，且 $\mathit{MB}=\mathit{MN}$．

（1）求证： $\mathit{BN}$平分 $\angle \mathit{ABE}$；

（2）若 $\mathit{BD}=1$，连接 $\mathit{DN}$，当四边形 $\mathit{DNBC}$为平行四边形时，求线段 $\mathit{BC}$的长；

（3）如图②，若点 $F$为 $\mathit{AB}$的中点，连接 $\mathit{FN}$、 $\mathit{FM}$，求证： $\mathit{\Delta MFN}\backsim \mathit{\Delta BDC}$．

如图， $\mathit{EF}=\mathit{BC}$， $\mathit{DF}=\mathit{AC}$， $\mathit{DA}=\mathit{EB}$．求证： $\angle F=\angle C$．

已知：如图， $\mathit{AC}$ ， $\mathit{DB}$ 相交于点 $O$ ， $\mathit{AB}=\mathit{DC}$ ， $\angle \mathit{ABO}=\angle \mathit{DCO}$ ．

求证：（1） $\mathit{\Delta ABO}\cong \mathit{\Delta DCO}$ ；

（2） $\angle \mathit{OBC}=\angle \mathit{OCB}$ ．

若 $\mathit{\Delta ABC}$ 和 $\mathit{\Delta AED}$ 均为等腰三角形，且 $\angle \mathit{BAC}=\angle \mathit{EAD}=90°$ ．

（1）如图（1），点 $B$ 是 $\mathit{DE}$ 的中点，判定四边形 $\mathit{BEAC}$ 的形状，并说明理由；

（2）如图（2），若点 $G$ 是 $\mathit{EC}$ 的中点，连接 $\mathit{GB}$ 并延长至点 $F$ ，使 $\mathit{CF}=\mathit{CD}$ ．

求证：① $\mathit{EB}=\mathit{DC}$ ，

② $\angle \mathit{EBG}=\angle \mathit{BFC}$ ．