初中数学全等三角形的判定与性质解答题

在 $▱ ABCD$ 中， $E$ 、 $F$ 分别是 $AD$ 、 $BC$ 上的点，将平行四边形 $ABCD$ 沿 $EF$ 所在直线翻折，使点 $B$ 与点 $D$ 重合，且点 $A$ 落在点 $A'$ 处．

（1）求证：△ $A' ED ≅ ΔCFD$ ；

（2）连接 $BE$ ，若 $∠ EBF = 60 °$ ， $EF = 3$ ，求四边形 $BFDE$ 的面积．

来源：2018年四川省凉山州中考数学试卷

更新：2021-05-23
题型：未知
难度：未知

已知 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ，点 $D$ 、 $E$ 分别在 $BC$ 、 $AC$ 边上，连接 $BE$ 、 $AD$ 交于点 $P$ ，设 $AC = kBD$ ， $CD = kAE$ ， $k$ 为常数，试探究 $∠ APE$ 的度数：

（1）如图1，若 $k = 1$ ，则 $∠ APE$ 的度数为　　；

（2）如图2，若 $k = \sqrt{3}$ ，试问（1）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，求出 $∠ APE$ 的度数．

（3）如图3，若 $k = \sqrt{3}$ ，且 $D$ 、 $E$ 分别在 $CB$ 、 $CA$ 的延长线上，（2）中的结论是否成立，请说明理由．

来源：2018年四川省乐山市中考数学试卷

更新：2021-05-23
题型：未知
难度：未知

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如图，在 $▱ ABCD$ 中， $E$ 为 $BC$ 的中点，连接 $AE$ 并延长交 $DC$ 的延长线于点 $F$ ，连接 $BF$ ， $AC$ ，若 $AD = AF$ ，求证：四边形 $ABFC$ 是矩形．

来源：2020年山东省聊城市中考数学试卷

更新：2021-05-26
题型：未知
难度：未知

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如图，已知 $∠ 1 = ∠ 2$ ， $∠ 3 = ∠ 4$ ，求证： $BC = BD$ ．

来源：2018年四川省乐山市中考数学试卷

更新：2021-05-23
题型：未知
难度：未知

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如图，在菱形 $ABCD$ 中，过 $B$ 作 $BE ⊥ AD$ 于 $E$ ，过 $B$ 作 $BF ⊥ CD$ 于 $F$ ．

求证： $AE = CF$ ．

来源：2018年四川省广元市中考数学试卷

更新：2021-05-23
题型：未知
难度：未知

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如图，四边形 $ABCD$ 是正方形， $M$ 为 $BC$ 上一点，连接 $AM$ ，延长 $AD$ 至点 $E$ ，使得 $AE = AM$ ，过点 $E$ 作 $EF ⊥ AM$ ，垂足为 $F$ ，求证： $AB = EF$ ．

来源：2018年四川省广安市中考数学试卷

更新：2021-05-23
题型：未知
难度：未知

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如图，在直角三角形 $ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ，点 $H$ 是 $ΔABC$ 的内心，

$AH$ 的延长线和三角形 $ABC$ 的外接圆 $O$ 相交于点 $D$ ，连接 $DB$ ．

（1）求证： $DH = DB$ ；

（2）过点 $D$ 作 $BC$ 的平行线交 $AC$ 、 $AB$ 的延长线分别于点 $E$ 、 $F$ ，已知 $CE = 1$ ，圆 $O$ 的直径为5．

①求证： $EF$ 为圆 $O$ 的切线；

②求 $DF$ 的长．

来源：2018年四川省德阳市中考数学试卷

更新：2021-05-23
题型：未知
难度：未知

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如图1，四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ ， $BD$ 相交于点 $O$ ， $OA = OC$ ， $OB = OD + CD$ ．

（1）过点 $A$ 作 $AE / / DC$ 交 $BD$ 于点 $E$ ，求证： $AE = BE$ ；

（2）如图2，将 $ΔABD$ 沿 $AB$ 翻折得到 $ΔAB D^{'}$ ．

①求证： $B D^{'} / / CD$ ；

②若 $A D^{'} / / BC$ ，求证： $C D^{2} = 2 OD \cdot BD$ ．

来源：2020年山东省菏泽市中考数学试卷

更新：2021-05-26
题型：未知
难度：未知

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如图，点 $E$ 、 $F$ 分别是矩形 $ABCD$ 的边 $AD$ 、 $AB$ 上一点，若 $AE = DC = 2 ED$ ，且 $EF ⊥ EC$ ．

（1）求证：点 $F$ 为 $AB$ 的中点；

（2）延长 $EF$ 与 $CB$ 的延长线相交于点 $H$ ，连接 $AH$ ，已知 $ED = 2$ ，求 $AH$ 的值．

来源：2018年四川省德阳市中考数学试卷

更新：2021-05-23
题型：未知
难度：未知

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阅读下列材料：

已知：如图1，等边△ $A_{1} A_{2} A_{3}$ 内接于 $⊙ O$ ，点 $P$ 是 $\hat{A_{1} A_{2}}$ 上的任意一点，连接 $P A_{1}$ ， $P A_{2}$ ， $P A_{3}$ ，可证： $P A_{1} + P A_{2} = P A_{3}$ ，从而得到： $\frac{P A_{1} + P A_{2}}{P A_{1} + P A_{2} + P A_{3}} = \frac{1}{2}$ 是定值．

（1）以下是小红的一种证明方法，请在方框内将证明过程补充完整；

证明：如图1，作 $∠ P A_{1} M = 60 °$ ， $A_{1} M$ 交 $A_{2} P$ 的延长线于点 $M$ ．

$∵$ △ $A_{1} A_{2} A_{3}$ 是等边三角形，

$∴ ∠ A_{3} A_{1} A_{2} = 60 °$ ，

$∴ ∠ A_{3} A_{1} P = ∠ A_{2} A_{1} M$

又 $A_{3} A_{1} = A_{2} A_{1}$ ， $∠ A_{1} A_{3} P = ∠ A_{1} A_{2} P$ ，

$∴$ △ $A_{1} A_{3} P ≅$ △ $A_{1} A_{2} M$

$∴ P A_{3} = M A_{2} = P A_{2} + PM = P A_{2} + P A_{1}$ ．

$∴ \frac{P A_{1} + P A_{2}}{P A_{1} + P A_{2} + P A_{3}} = \frac{1}{2}$ ，是定值．

（2）延伸：如图2，把（1）中条件“等边△ $A_{1} A_{2} A_{3}$ ”改为“正方形 $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}$ ”，其余条件不变，请问： $\frac{P A_{1} + P A_{2}}{P A_{1} + P A_{2} + P A_{3} + P A_{4}}$ 还是定值吗？为什么？

（3）拓展：如图3，把（1）中条件“等边△ $A_{1} A_{2} A_{3}$ ”改为“正五边形 $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5}$ ”，其余条件不变，则 $\frac{P A_{1} + P A_{2}}{P A_{1} + P A_{2} + P A_{3} + P A_{4} + P A_{5}} =$ 　　（只写出结果）．