已知: 是等腰直角三角形, ,将 绕点 顺时针方向旋转得到△ ,记旋转角为 ,当 时,作 ,垂足为 , 与 交于点 .
(1)如图1,当 时,作 的平分线 交 于点 .
①写出旋转角 的度数;
②求证: ;
(2)如图2,在(1)的条件下,设 是直线 上的一个动点,连接 , ,若 ,求线段 的最小值.(结果保留根号)
如图,在 中, , ,点 是 边上一动点,连接 ,把 绕点 逆时针旋转 ,得到 ,连接 , .点 是 的中点,连接 .
(1)求证: ;
(2)如图2所示,在点 运动的过程中,当 时,分别延长 , ,相交于点 ,猜想 与 存在的数量关系,并证明你猜想的结论;
(3)在点 运动的过程中,在线段 上存在一点 ,使 的值最小.当 的值取得最小值时, 的长为 ,请直接用含 的式子表示 的长.
《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图 " "为"蜨",同"蝶" ,它的基本组件为斜角形,包括长斜两只、右半斜两只、左半斜两只、闺一只、小三斜四只、大三斜两只,共十三只(图①中的"樣"和"隻"为"样"和"只" .图②为某蝶几设计图,其中 和 为"大三斜"组件 "一樣二隻"的大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形),已知某人位于点 处,点 与点 关于直线 对称,连接 、 .若 ,则 度.
如图,已知等边 的边长为8,点 是 边上的一个动点(与点 、 不重合).直线 是经过点 的一条直线,把 沿直线 折叠,点 的对应点是点 .
(1)如图1,当 时,若点 恰好在 边上,则 的长度为 ;
(2)如图2,当 时,若直线 ,则 的长度为 ;
(3)如图3,点 在 边上运动过程中,若直线 始终垂直于 , 的面积是否变化?若变化,说明理由;若不变化,求出面积;
(4)当 时,在直线 变化过程中,求 面积的最大值.
已知,在 中, , , , 是 边上的一个动点,将 沿 所在直线折叠,使点 落在点 处.
(1)如图1,若点 是 中点,连接 .
①写出 , 的长;
②求证:四边形 是平行四边形.
(2)如图2,若 ,过点 作 交 的延长线于点 ,求 的长.
以菱形 的对角线交点 为坐标原点, 所在的直线为 轴,已知 , , , 为折线 上一动点,作 轴于点 ,设点 的纵坐标为 .
(1)求 边所在直线的解析式;
(2)设 ,求 关于 的函数关系式;
(3)当 为直角三角形时,求点 的坐标.
如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形 ,相邻纸片之间互不重叠也无缝隙,其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为 ,另两张直角三角形纸片的面积都为 ,中间一张矩形纸片 的面积为 , 与 相交于点 .当 , , , 的面积相等时,下列结论一定成立的是
A. |
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B. |
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C. |
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D. |
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如图,平面直角坐标系中, 为原点,点 、 分别在 轴、 轴的正半轴上. 的两条外角平分线交于点 , 在反比例函数 的图象上. 的延长线交 轴于点 , 的延长线交 轴于点 ,连接 .
(1)求 的度数及点 的坐标;
(2)求 的面积;
(3) 的面积是否存在最大值?若存在,求出最大面积;若不存在,请说明理由.
如图1,在矩形 中, ,动点 从 出发,以每秒1个单位的速度,沿射线 方向移动,作 关于直线 的对称 ,设点 的运动时间为 .
(1)若 .
①如图2,当点 落在 上时,显然 是直角三角形,求此时 的值;
②是否存在异于图2的时刻,使得 是直角三角形?若存在,请直接写出所有符合题意的 的值?若不存在,请说明理由.
(2)当 点不与 点重合时,若直线 与直线 相交于点 ,且当 时存在某一时刻有结论 成立,试探究:对于 的任意时刻,结论“ ”是否总是成立?请说明理由.
(1)已知 , 如图①摆放,点 , , 在同一条直线上, , .连接 ,过点 作 ,垂足为点 ,直线 交 于点 .求证: .
(2)已知 , 如图②摆放, , .连接 , ,过点 作 ,垂足为点 ,直线 交 于点 .求 的值.
如图,在菱形 中, 是锐角, 是 边上的动点,将射线 绕点 按逆时针方向旋转,交直线 于点 .
(1)当 , 时,
①求证: ;
②连结 , ,若 ,求 的值;
(2)当 时,延长 交射线 于点 ,延长 交射线 于点 ,连结 , ,若 , ,则当 为何值时, 是等腰三角形.
如图1,在 中, , 是 边上的一点, 为 的中点,过点 作 的平行线交 的延长线于 ,且 ,连接 .
(1)求证: ;
(2)在图1中 上取一点 ,使 ,作 关于边 的对称点 ,连接 、 、 、 、 得图2.
①求证: ;
②设 与 相交于点 ,求证: , .
如图,矩形 中, ,点 是边 的中点,点 是对角线 上一动点, .连结 ,作点 关于直线 的对称点 .
(1)若 ,求 的长;
(2)若 ,求 的长;
(3)直线 交 于点 ,若 是锐角三角形,求 长的取值范围.
在平面直角坐标系中,点 的坐标为 , ,点 在直线 上,过点 作 的垂线,过原点 作直线 的垂线,两垂线相交于点 .
(1)如图,点 , 分别在第三、二象限内, 与 相交于点 .
①若 ,求证: .
②若 ,求四边形 的面积.
(2)是否存在点 ,使得以 , , 为顶点的三角形与 相似?若存在,求 的长;若不存在,请说明理由.
已知点 是线段 的中点,点 是直线 上的任意一点,分别过点 和点 作直线 的垂线,垂足分别为点 和点 .我们定义垂足与中点之间的距离为"足中距".
(1) 猜想验证 如图1,当点 与点 重合时,请你猜想、验证后直接写出"足中距" 和 的数量关系是 .
(2) 探究证明 如图2,当点 是线段 上的任意一点时,"足中距" 和 的数量关系是否依然成立,若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
(3) 拓展延伸 如图3,①当点 是线段 延长线上的任意一点时,"足中距" 和 的数量关系是否依然成立,若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;
②若 ,请直接写出线段 、 、 之间的数量关系.