初中数学三角形试题

如图1，在等腰三角形 $\mathit{ABC}$ 中， $\angle A=120°$ ， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ，点 $D$ 、 $E$ 分别在边 $\mathit{AB}$ 、 $\mathit{AC}$ 上， $\mathit{AD}=\mathit{AE}$ ，连接 $\mathit{BE}$ ，点 $M$ 、 $N$ 、 $P$ 分别为 $\mathit{DE}$ 、 $\mathit{BE}$ 、 $\mathit{BC}$ 的中点．

（1）观察猜想．

图1中，线段 $\mathit{NM}$ 、 $\mathit{NP}$ 的数量关系是 　 　， $\angle \mathit{MNP}$ 的大小为 　　．

（2）探究证明

把 $\mathit{\Delta ADE}$ 绕点 $A$ 顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接 $\mathit{MP}$ 、 $\mathit{BD}$ 、 $\mathit{CE}$ ，判断 $\mathit{\Delta MNP}$ 的形状，并说明理由；

（3）拓展延伸

把 $\mathit{\Delta ADE}$ 绕点 $A$ 在平面内自由旋转，若 $\mathit{AD}=1$ ， $\mathit{AB}=3$ ，请求出 $\mathit{\Delta MNP}$ 面积的最大值．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ， $\mathit{AC}=\mathit{BC}=4$ ，点 $D$ 是 $\mathit{BC}$ 边的中点，点 $P$ 是 $\mathit{AC}$ 边上一个动点，连接 $\mathit{PD}$ ，以 $\mathit{PD}$ 为边在 $\mathit{PD}$ 的下方作等边三角形 $\mathit{PDQ}$ ，连接 $\mathit{CQ}$ ．则 $\mathit{CQ}$ 的最小值是 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

B．

1

C．

$\sqrt{2}$

D．

$\frac{3}{2}$

已知正方形 $\mathit{ABCD}$ 与正方形 $\mathit{AEFG}$ ，正方形 $\mathit{AEFG}$ 绕点 $A$ 旋转一周．

（1）如图①，连接 $\mathit{BG}$ 、 $\mathit{CF}$ ，求 $\frac{\mathit{CF}}{\mathit{BG}}$ 的值；

（2）当正方形 $\mathit{AEFG}$ 旋转至图②位置时，连接 $\mathit{CF}$ 、 $\mathit{BE}$ ，分别取 $\mathit{CF}$ 、 $\mathit{BE}$ 的中点 $M$ 、 $N$ ，连接 $\mathit{MN}$ 、试探究： $\mathit{MN}$ 与 $\mathit{BE}$ 的关系，并说明理由；

（3）连接 $\mathit{BE}$ 、 $\mathit{BF}$ ，分别取 $\mathit{BE}$ 、 $\mathit{BF}$ 的中点 $N$ 、 $Q$ ，连接 $\mathit{QN}$ ， $\mathit{AE}=6$ ，请直接写出线段 $\mathit{QN}$ 扫过的面积．

已知正方形，点为边的中点．

（1）如图1，点为线段上的一点，且，延长、分别与边、交于点、．

①求证：；

②求证：．

（2）如图2，在边上取一点，满足，连接交于点，连接并延长交于点，求的值．

如图1，，分别在射线，上，且为钝角，现以线段，为斜边向的外侧作等腰直角三角形，分别是，，点，，分别是，，的中点．

（1）求证：；

（2）延长，交于点．

①如图2，若，求证：为等边三角形；

②如图3，若，求大小和的值．

如图1，在，将一块与全等的三角板的直角顶点放在点C上，一直角边与BC重叠。
（1）操作1：固定，将三角板沿方向平移，使其直角顶点落在BC的中点M，如图2所示，探究：三角板沿方向平移的距离为___________；
（2）操作2：在（1）的情况下，将三角板BC的中点M顺时针方向旋转角度，如图3所示，探究：设三角形板两直角边分别与AB、AC交于点P、Q，观察四边形MPAQ形状的变化，问：四边形MPAQ的面积S是否改变，若不变，求其面积；若改变，试说明理由；

如图，在△ABC中，AB=BC，点E在边AB上，EF⊥AC于F．

（1）尺规作图：过点A作AD⊥BC于点D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：∠CAD=∠AEF；
（3）若∠ABC=45°，AD与EF交于点G，求证：EG=2AF．

如图1，在 $\mathit{\Delta ABC}$中，矩形 $\mathit{EFGH}$的一边 $\mathit{EF}$在 $\mathit{AB}$上，顶点 $G$、 $H$分别在 $\mathit{BC}$、 $\mathit{AC}$上， $\mathit{CD}$是边 $\mathit{AB}$上的高， $\mathit{CD}$交 $\mathit{GH}$于点 $I$．若 $\mathit{CI}=4$， $\mathit{HI}=3$， $\mathit{AD}=\frac{9}{2}$．矩形 $\mathit{DFGI}$恰好为正方形．

（1）求正方形 $\mathit{DFGI}$的边长；

（2）如图2，延长 $\mathit{AB}$至 $P$．使得 $\mathit{AC}=\mathit{CP}$，将矩形 $\mathit{EFGH}$沿 $\mathit{BP}$的方向向右平移，当点 $G$刚好落在 $\mathit{CP}$上时，试判断移动后的矩形与 $\mathit{\Delta CBP}$重叠部分的形状是三角形还是四边形，为什么？

（3）如图3，连接 $\mathit{DG}$，将正方形 $\mathit{DFGI}$绕点 $D$顺时针旋转一定的角度得到正方形 $\mathit{DF}\text{'}G\text{'}I\text{'}$，正方形 $\mathit{DF}\text{'}G\text{'}I\text{'}$分别与线段 $\mathit{DG}$、 $\mathit{DB}$相交于点 $M$、 $N$，求 $\mathit{\Delta MNG}\text{'}$的周长．

如图，在边长为6的等边 $\mathit{\Delta ABC}$中，点 $E$， $F$分别是边 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$上的动点，且 $\mathit{AE}=\mathit{CF}$，连接 $\mathit{BE}$， $\mathit{AF}$交于点 $P$，连接 $\mathit{CP}$，则 $\mathit{CP}$的最小值为 　　．

如图，射线 $\mathit{OM}$ ， $\mathit{ON}$ 互相垂直， $\mathit{OA}=8$ ，点 $B$ 位于射线 $\mathit{OM}$ 的上方，且在线段 $\mathit{OA}$ 的垂直平分线 $l$ 上，连接 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{AB}=5$ ．把线段 $\mathit{AB}$ 绕点 $O$ 按逆时针方向旋转得到对应线段 $A\text{'}B\text{'}$ ，若点 $B\text{'}$ 恰好落在射线 $\mathit{ON}$ 上，则点 $A\text{'}$ 到射线 $\mathit{ON}$ 的距离 $d=$ 　　．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$， $\mathit{AC}=\mathit{BC}=4\mathit{cm}$，动点 $P$从点 $C$出发以 $1\mathit{cm}/s$的速度沿 $\mathit{CA}$匀速运动，同时动点 $Q$从点 $A$出发以 $\sqrt{2}\mathit{cm}/s$的速度沿 $\mathit{AB}$匀速运动，当点 $P$到达点 $A$时，点 $P$、 $Q$同时停止运动，设运动时间为 $t\left(s\right)$．

（1）当 $t$为何值时，点 $B$在线段 $\mathit{PQ}$的垂直平分线上？

（2）是否存在某一时刻 $t$，使 $\mathit{\Delta APQ}$是以 $\mathit{PQ}$为腰的等腰三角形？若存在，求出 $t$的值；若不存在，请说明理由；

（3）以 $\mathit{PC}$为边，往 $\mathit{CB}$方向作正方形 $\mathit{CPMN}$，设四边形 $\mathit{QNCP}$的面积为 $S$，求 $S$关于 $t$的函数关系式．

已知正方形 $\mathit{ABCD}$中 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$交于 $O$点，点 $M$在线段 $\mathit{BD}$上，作直线 $\mathit{AM}$交直线 $\mathit{DC}$于 $E$，过 $D$作 $\mathit{DH}\perp \mathit{AE}$于 $H$，设直线 $\mathit{DH}$交 $\mathit{AC}$于 $N$．

（1）如图1，当 $M$在线段 $\mathit{BO}$上时，求证： $\mathit{MO}=\mathit{NO}$；

（2）如图2，当 $M$在线段 $\mathit{OD}$上，连接 $\mathit{NE}$，当 $\mathit{EN}//\mathit{BD}$时，求证： $\mathit{BM}=\mathit{AB}$；

（3）在图3，当 $M$在线段 $\mathit{OD}$上，连接 $\mathit{NE}$，当 $\mathit{NE}\perp \mathit{EC}$时，求证： $A{N}^2=\mathit{NC}\cdot \mathit{AC}$．

在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ， $\mathit{AB}=5$ ， $\mathit{BC}=3$ ，将 $\mathit{\Delta ABC}$ 绕点 $B$ 顺时针旋转得到△ $A\text{'}\mathit{BC}\text{'}$ ，其中点 $A$ ， $C$ 的对应点分别为点 $A\text{'}$ ， $C\text{'}$ ．

（1）如图1，当点 $A\text{'}$ 落在 $\mathit{AC}$ 的延长线上时，求 $\mathit{AA}\text{'}$ 的长；

（2）如图2，当点 $C\text{'}$ 落在 $\mathit{AB}$ 的延长线上时，连接 $\mathit{CC}\text{'}$ ，交 $A\text{'}B$ 于点 $M$ ，求 $\mathit{BM}$ 的长；

（3）如图3，连接 $\mathit{AA}\text{'}$ ， $\mathit{CC}\text{'}$ ，直线 $\mathit{CC}\text{'}$ 交 $\mathit{AA}\text{'}$ 于点 $D$ ，点 $E$ 为 $\mathit{AC}$ 的中点，连接 $\mathit{DE}$ ．在旋转过程中， $\mathit{DE}$ 是否存在最小值？若存在，求出 $\mathit{DE}$ 的最小值；若不存在，请说明理由．

如图1，矩形 $\mathit{DEFG}$中， $\mathit{DG}=2$， $\mathit{DE}=3$， $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{CA}=\mathit{CB}=2$， $\mathit{FG}$， $\mathit{BC}$的延长线相交于点 $O$，且 $\mathit{FG}\perp \mathit{BC}$， $\mathit{OG}=2$， $\mathit{OC}=4$．将 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $O$逆时针旋转 $\alpha (0°⩽\alpha <180°)$得到△ $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$．

（1）当 $\alpha =30°$时，求点 $C\text{'}$到直线 $\mathit{OF}$的距离．

（2）在图1中，取 $A\text{'}B\text{'}$的中点 $P$，连结 $C\text{'}P$，如图2．

①当 $C\text{'}P$与矩形 $\mathit{DEFG}$的一条边平行时，求点 $C\text{'}$到直线 $\mathit{DE}$的距离．

②当线段 $A\text{'}P$与矩形 $\mathit{DEFG}$的边有且只有一个交点时，求该交点到直线 $\mathit{DG}$的距离的取值范围．

如图，抛物线 $y=m{x}^2-16\mathit{mx}+48m(m>0)$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点（点 $B$在点 $A$左侧），与 $y$轴交于点 $C$，点 $D$是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接 $\mathit{OD}$、 $\mathit{BD}$、 $\mathit{AC}$、 $\mathit{AD}$，延长 $\mathit{AD}$交 $y$轴于点 $E$．

（1）若 $\mathit{\Delta OAC}$为等腰直角三角形，求 $m$的值；

（2）若对任意 $m>0$， $C$、 $E$两点总关于原点对称，求点 $D$的坐标（用含 $m$的式子表示）；

（3）当点 $D$运动到某一位置时，恰好使得 $\angle \mathit{ODB}=\angle \mathit{OAD}$，且点 $D$为线段 $\mathit{AE}$的中点，此时对于该抛物线上任意一点 $P(x_0$， $y_0)$总有 $n+\frac{1}{6}⩾-4\sqrt{3}m{y}_0^2-12\sqrt{3}{y}_0-50$成立，求实数 $n$的最小值．