初中数学三角形解答题

已知四边形 $\mathit{ABCD}$ 是 $\odot O$ 的内接四边形， $\mathit{AC}$ 是 $\odot O$ 的直径， $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$ ，垂足为 $E$ ．

（1）延长 $\mathit{DE}$ 交 $\odot O$ 于点 $F$ ，延长 $\mathit{DC}$ ， $\mathit{FB}$ 交于点 $P$ ，如图1．求证： $\mathit{PC}=\mathit{PB}$ ；

（2）过点 $B$ 作 $\mathit{BG}\perp \mathit{AD}$ ，垂足为 $G$ ， $\mathit{BG}$ 交 $\mathit{DE}$ 于点 $H$ ，且点 $O$ 和点 $A$ 都在 $\mathit{DE}$ 的左侧，如图2．若 $\mathit{AB}=\sqrt{3}$ ， $\mathit{DH}=1$ ， $\angle \mathit{OHD}=80°$ ，求 $\angle \mathit{BDE}$ 的大小．

如图， $▱\mathit{ABCD}$ 的对角线 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BD}$ 相交于点 $O$ ， $\mathit{EF}$ 过点 $O$ 且与 $\mathit{AD}$ ， $\mathit{BC}$ 分别相交于点 $E$ ， $F$ ．求证： $\mathit{OE}=\mathit{OF}$ ．

如图1，在四边形 $\mathit{ABCD}$中，如果对角线 $\mathit{AC}$和 $\mathit{BD}$相交并且相等，那么我们把这样的四边形称为等角线四边形．

（1）①在“平行四边形、矩形、菱形”中，　    　一定是等角线四边形（填写图形名称）；

②若 $M$、 $N$、 $P$、 $Q$分别是等角线四边形 $\mathit{ABCD}$四边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{BC}$、 $\mathit{CD}$、 $\mathit{DA}$的中点，当对角线 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BD}$还要满足　　时，四边形 $\mathit{MNPQ}$是正方形．

（2）如图2，已知 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ABC}=90°$， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{BC}=3$， $D$为平面内一点．

①若四边形 $\mathit{ABCD}$是等角线四边形，且 $\mathit{AD}=\mathit{BD}$，则四边形 $\mathit{ABCD}$的面积是　 　；

②设点 $E$是以 $C$为圆心，1为半径的圆上的动点，若四边形 $\mathit{ABED}$是等角线四边形，写出四边形 $\mathit{ABED}$面积的最大值，并说明理由．

如图1，在菱形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=6\sqrt{5}$， $\tan \angle \mathit{ABC}=2$，点 $E$从点 $D$出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线 $\mathit{DA}$的方向匀速运动，设运动时间为 $t$（秒 $)$，将线段 $\mathit{CE}$绕点 $C$顺时针旋转一个角 $\alpha (\alpha =\angle \mathit{BCD})$，得到对应线段 $\mathit{CF}$．

（1）求证： $\mathit{BE}=\mathit{DF}$；

（2）当 $t=$　       　秒时， $\mathit{DF}$的长度有最小值，最小值等于　          　；

（3）如图2，连接 $\mathit{BD}$、 $\mathit{EF}$、 $\mathit{BD}$交 $\mathit{EC}$、 $\mathit{EF}$于点 $P$、 $Q$，当 $t$为何值时， $\mathit{\Delta EPQ}$是直角三角形？

（4）如图3，将线段 $\mathit{CD}$绕点 $C$顺时针旋转一个角 $\alpha (\alpha =\angle \mathit{BCD})$，得到对应线段 $\mathit{CG}$．在点 $E$的运动过程中，当它的对应点 $F$位于直线 $\mathit{AD}$上方时，直接写出点 $F$到直线 $\mathit{AD}$的距离 $y$关于时间 $t$的函数表达式．

如果三角形三边的长 $a$、 $b$、 $c$满足 $\frac{a+b+c}{3}=b$，那么我们就把这样的三角形叫做“匀称三角形”，如：三边长分别为1，1，1或3，5，7， $\dots$的三角形都是“匀称三角形”．

（1）如图1，已知两条线段的长分别为 $a$、 $c(a<c)$．用直尺和圆规作一个最短边、最长边的长分别为 $a$、 $c$的“匀称三角形”（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）如图2， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，以 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot O$交 $\mathit{BC}$于点 $D$，过点 $D$作 $\odot O$的切线交 $\mathit{AB}$延长线于点 $E$，交 $\mathit{AC}$于点 $F$，若 $\frac{\mathit{BE}}{\mathit{CF}}=\frac{5}{3}$，判断 $\mathit{\Delta AEF}$是否为“匀称三角形”？请说明理由．

思维启迪：

（1）如图1， $A$， $B$两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量 $A$， $B$间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达 $B$点的点 $C$，连接 $\mathit{BC}$，取 $\mathit{BC}$的中点 $P$（点 $P$可以直接到达 $A$点），利用工具过点 $C$作 $\mathit{CD}//\mathit{AB}$交 $\mathit{AP}$的延长线于点 $D$，此时测得 $\mathit{CD}=200$米，那么 $A$， $B$间的距离是　200　米．

思维探索：

（2）在 $\mathit{\Delta ABC}$和 $\mathit{\Delta ADE}$中， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$， $\mathit{AE}=\mathit{DE}$，且 $\mathit{AE}<\mathit{AC}$， $\angle \mathit{ACB}=\angle \mathit{AED}=90°$，将 $\mathit{\Delta ADE}$绕点 $A$顺时针方向旋转，把点 $E$在 $\mathit{AC}$边上时 $\mathit{\Delta ADE}$的位置作为起始位置（此时点 $B$和点 $D$位于 $\mathit{AC}$的两侧），设旋转角为 $\alpha$，连接 $\mathit{BD}$，点 $P$是线段 $\mathit{BD}$的中点，连接 $\mathit{PC}$， $\mathit{PE}$．

①如图2，当 $\mathit{\Delta ADE}$在起始位置时，猜想： $\mathit{PC}$与 $\mathit{PE}$的数量关系和位置关系分别是　　；

②如图3，当 $\alpha =90°$时，点 $D$落在 $\mathit{AB}$边上，请判断 $\mathit{PC}$与 $\mathit{PE}$的数量关系和位置关系，并证明你的结论；

③当 $\alpha =150°$时，若 $\mathit{BC}=3$， $\mathit{DE}=1$，请直接写出 $P{C}^2$的值．

在平面直角坐标系中，直线 $y=\mathit{kx}+4(k\ne 0)$交 $x$轴于点 $A(8,0)$，交 $y$轴于点 $B$．

（1） $k$的值是　　；

（2）点 $C$是直线 $\mathit{AB}$上的一个动点，点 $D$和点 $E$分别在 $x$轴和 $y$轴上．

①如图，点 $E$为线段 $\mathit{OB}$的中点，且四边形 $\mathit{OCED}$是平行四边形时，求 $▱\mathit{OCED}$的周长；

②当 $\mathit{CE}$平行于 $x$轴， $\mathit{CD}$平行于 $y$轴时，连接 $\mathit{DE}$，若 $\mathit{\Delta CDE}$的面积为 $\frac{33}{4}$，请直接写出点 $C$的坐标．

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$和点 $F$是对角线 $\mathit{AC}$上的两点， $\mathit{AE}=\mathit{CF}$， $\mathit{DF}=\mathit{BE}$，且 $\mathit{DF}//\mathit{BE}$，过点 $C$作 $\mathit{CG}\perp \mathit{AB}$交 $\mathit{AB}$的延长线于点 $G$．

（1）求证：四边形 $\mathit{ABCD}$是平行四边形；

（2）若 $\tan \angle \mathit{CAB}=\frac{2}{5}$， $\angle \mathit{CBG}=45°$， $\mathit{BC}=4\sqrt{2}$，则 $▱\mathit{ABCD}$的面积是　　．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是菱形， $\angle \mathit{BAD}=120°$，点 $E$在射线 $\mathit{AC}$上（不包括点 $A$和点 $C)$，过点 $E$的直线 $\mathit{GH}$交直线 $\mathit{AD}$于点 $G$，交直线 $\mathit{BC}$于点 $H$，且 $\mathit{GH}//\mathit{DC}$，点 $F$在 $\mathit{BC}$的延长线上， $\mathit{CF}=\mathit{AG}$，连接 $\mathit{ED}$， $\mathit{EF}$， $\mathit{DF}$．

（1）如图1，当点 $E$在线段 $\mathit{AC}$上时，

①判断 $\mathit{\Delta AEG}$的形状，并说明理由．

②求证： $\mathit{\Delta DEF}$是等边三角形．

（2）如图2，当点 $E$在 $\mathit{AC}$的延长线上时， $\mathit{\Delta DEF}$是等边三角形吗？如果是，请证明你的结论；如果不是，请说明理由．

如图1， $\mathit{\Delta ABC}(\frac{1}{2}\mathit{AC}<\mathit{BC}<\mathit{AC})$绕点 $C$顺时针旋转得 $\mathit{\Delta DEC}$，射线 $\mathit{AB}$交射线 $\mathit{DE}$于点 $F$．

（1） $\angle \mathit{AFD}$与 $\angle \mathit{BCE}$的关系是　　；

（2）如图2，当旋转角为 $60°$时，点 $D$，点 $B$与线段 $\mathit{AC}$的中点 $O$恰好在同一直线上，延长 $\mathit{DO}$至点 $G$，使 $\mathit{OG}=\mathit{OD}$，连接 $\mathit{GC}$．

① $\angle \mathit{AFD}$与 $\angle \mathit{GCD}$的关系是　　，请说明理由；

②如图3，连接 $\mathit{AE}$， $\mathit{BE}$，若 $\angle \mathit{ACB}=45°$， $\mathit{CE}=4$，求线段 $\mathit{AE}$的长度．

已知，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $D$是 $\mathit{BC}$边上一点，连接 $\mathit{AD}$，分别以 $\mathit{CD}$和 $\mathit{AD}$为直角边作 $\text{Rt}\Delta \text{CDE}$和 $\text{Rt}\Delta \text{ADF}$，使 $\angle \mathit{DCE}=\angle \mathit{ADF}=90°$，点 $E$， $F$在 $\mathit{BC}$下方，连接 $\mathit{EF}$．

（1）如图1，当 $\mathit{BC}=\mathit{AC}$， $\mathit{CE}=\mathit{CD}$， $\mathit{DF}=\mathit{AD}$时，

求证：① $\angle \mathit{CAD}=\angle \mathit{CDF}$，② $\mathit{BD}=\mathit{EF}$；

（2）如图2，当 $\mathit{BC}=2\mathit{AC}$， $\mathit{CE}=2\mathit{CD}$， $\mathit{DF}=2\mathit{AD}$时，猜想 $\mathit{BD}$和 $\mathit{EF}$之间的数量关系？并说明理由．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$是等腰直角三角形， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $D$是射线 $\mathit{CB}$上一点（点 $D$不与点 $B$重合），以 $\mathit{AD}$为斜边作等腰直角三角形 $\mathit{ADE}$（点 $E$和点 $C$在 $\mathit{AB}$的同侧），连接 $\mathit{CE}$．

（1）如图①，当点 $D$与点 $C$重合时，直接写出 $\mathit{CE}$与 $\mathit{AB}$的位置关系；

（2）如图②，当点 $D$与点 $C$不重合时，（1）的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；

（3）当 $\angle \mathit{EAC}=15°$时，请直接写出 $\frac{\mathit{CE}}{\mathit{AB}}$的值．

在平面直角坐标系中， $\mathit{\Delta ABC}$的三个顶点坐标分别是 $A(-1,1)$， $B(-4,1)$， $C(-3,3)$

（1）将 $\mathit{\Delta ABC}$向下平移5个单位长度后得到△ $A_1{B}_1{C}_1$，请画出△ $A_1{B}_1{C}_1$；并判断以 $O$， $A_1$， $B$为顶点的三角形的形状（直接写出结果）；

（2）将 $\mathit{\Delta ABC}$绕原点 $O$顺时针旋转 $90°$后得到△ $A_2{B}_2{C}_2$，请画出△ $A_2{B}_2{C}_2$，并求出点 $C$旋转到 $C_2$所经过的路径长．

如图，是具有公共边 $\mathit{AB}$的两个直角三角形，其中， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$， $\angle \mathit{ACB}=\angle \mathit{ADB}=90°$．

（1）如图1，若延长 $\mathit{DA}$到点 $E$，使 $\mathit{AE}=\mathit{BD}$，连接 $\mathit{CD}$， $\mathit{CE}$．

①求证： $\mathit{CD}=\mathit{CE}$， $\mathit{CD}\perp \mathit{CE}$；

②求证： $\mathit{AD}+\mathit{BD}=\sqrt{2}\mathit{CD}$；

（2）若 $\mathit{\Delta ABC}$与 $\mathit{\Delta ABD}$位置如图2所示，请直接写出线段 $\mathit{AD}$， $\mathit{BD}$， $\mathit{CD}$的数量关系．

如图，点 $E$， $F$分别在正方形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{CD}$， $\mathit{BC}$上，且 $\mathit{DE}=\mathit{CF}$，点 $P$在射线 $\mathit{BC}$上（点 $P$不与点 $F$重合）．将线段 $\mathit{EP}$绕点 $E$顺时针旋转 $90°$得到线段 $\mathit{EG}$，过点 $E$作 $\mathit{GD}$的垂线 $\mathit{QH}$，垂足为点 $H$，交射线 $\mathit{BC}$于点 $Q$．

（1）如图1，若点 $E$是 $\mathit{CD}$的中点，点 $P$在线段 $\mathit{BF}$上，线段 $\mathit{BP}$， $\mathit{QC}$， $\mathit{EC}$的数量关系为　　．

（2）如图2，若点 $E$不是 $\mathit{CD}$的中点，点 $P$在线段 $\mathit{BF}$上，判断（1）中的结论是否仍然成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

（3）正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为6， $\mathit{AB}=3\mathit{DE}$， $\mathit{QC}=1$，请直接写出线段 $\mathit{BP}$的长．