初中数学二次函数综合题解答题

如图①，在平面直角坐标系中，已知，，，四点，动点以每秒个单位长度的速度沿运动不与点、点重合），设运动时间为（秒．

（1）求经过、、三点的抛物线的解析式；

（2）点在（1）中的抛物线上，当为的中点时，若，求点的坐标；

（3）当在上运动时，如图②．过点作轴，垂足为，，垂足为．设矩形与重叠部分的面积为，求与的函数关系式，并求出的最大值；

（4）点为轴上一点，直线与直线交于点，与轴交于点．是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线的图象经过点，顶点的坐标为，与轴交于、两点．

（1）求抛物线的解析式．

（2）连接，为直线上一点，当时，求点的坐标和的值．

（3）点是轴上一动点，当为何值时，的值最小．并求出这个最小值．

（4）点关于轴的对称点为，当取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点， $\mathit{AB}=4$ ，交 $y$ 轴于点 $C$ ，对称轴是直线 $x=1$ ．

（1）求抛物线的解析式及点 $C$ 的坐标；

（2）连接 $\mathit{BC}$ ， $E$ 是线段 $\mathit{OC}$ 上一点， $E$ 关于直线 $x=1$ 的对称点 $F$ 正好落在 $\mathit{BC}$ 上，求点 $F$ 的坐标；

（3）动点 $M$ 从点 $O$ 出发，以每秒2个单位长度的速度向点 $B$ 运动，过 $M$ 作 $x$ 轴的垂线交抛物线于点 $N$ ，交线段 $\mathit{BC}$ 于点 $Q$ ．设运动时间为 $t(t>0)$ 秒．

①若 $\mathit{\Delta AOC}$ 与 $\mathit{\Delta BMN}$ 相似，请直接写出 $t$ 的值；

② $\mathit{\Delta BOQ}$ 能否为等腰三角形？若能，求出 $t$ 的值；若不能，请说明理由．

已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a>0)$

（1）若 $a=1$ ， $b=-2$ ， $c=-1$

①求该二次函数图象的顶点坐标；

②定义：对于二次函数 $y=p{x}^2+\mathit{qx}+r(p\ne 0)$ ，满足方程 $y=x$ 的 $x$ 的值叫做该二次函数的"不动点"．求证：二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 有两个不同的"不动点"．

（2）设 $b=\frac{1}{2}{c}^3$ ，如图所示，在平面直角坐标系 $\mathit{Oxy}$ 中，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 的图象与 $x$ 轴分别相交于不同的两点 $A(x_1$ ， $0)$ ， $B(x_2$ ， $0)$ ，其中 $x_1<0$ ， $x_2>0$ ，与 $y$ 轴相交于点 $C$ ，连结 $\mathit{BC}$ ，点 $D$ 在 $y$ 轴的正半轴上，且 $\mathit{OC}=\mathit{OD}$ ，又点 $E$ 的坐标为 $(1,0)$ ，过点 $D$ 作垂直于 $y$ 轴的直线与直线 $\mathit{CE}$ 相交于点 $F$ ，满足 $\angle \mathit{AFC}=\angle \mathit{ABC}$ ． $\mathit{FA}$ 的延长线与 $\mathit{BC}$ 的延长线相交于点 $P$ ，若 $\frac{\mathit{PC}}{\mathit{PA}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5a^2+1}}$ ，求二次函数的表达式．

如图，抛物线为常数，与轴交于，两点，点为抛物线的顶点，点的坐标为，，连接并延长与过，，三点的相交于点．

（1）求点的坐标；

（2）过点作的切线交轴于点．

①如图1，求证：；

②如图2，连接，，，当，时，求的值．

已知抛物线，为常数）．

（1）若抛物线的顶点坐标为，求，的值；

（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求的取值范围；

（3）在（1）的条件下，存在正实数，，当时，恰好，求，的值．

已知抛物线过点，两点，与轴交于点，．

（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；

（2）过点作，垂足为，求证：四边形为正方形；

（3）点为抛物线在直线下方图形上的一动点，当面积最大时，求点的坐标；

（4）若点为线段上的一动点，问：是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．

如图1，的三个顶点、、分别落在抛物线的图象上，点的横坐标为，点的纵坐标为．（点在点的左侧）

（1）求点、的坐标；

（2）将绕点逆时针旋转得到△，抛物线经过、两点，已知点为抛物线的对称轴上一定点，且点恰好在以为直径的圆上，连接、，求△的面积；

（3）如图2，延长交抛物线于点，连接，在坐标轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与△相似．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知，．

（1）求抛物线对应的二次函数表达式；

（2）探究：如图1，连接，作交的延长线于点，连接交于点，是的中点，则是否将四边形分成面积相等的两部分？请说明理由；

（3）应用：如图2，是抛物线在第四象限的图象上的点，且，连接、，在线段上确定一点，使平分四边形的面积，求点的坐标．

提示：若点、的坐标分别为，、，，则线段的中点坐标为，．

如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点、在抛物线上，的平分线交于点，点是的中点，已知，且．

（1）求抛物线的解析式；

（2）、分别为轴，轴上的动点，顺次连接、、、构成四边形，求四边形周长的最小值；

（3）在轴下方且在抛物线上是否存在点，使中边上的高为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）矩形不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点、，且直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．

如图一，抛物线过、、三点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2），、两点均在该抛物线上，若，求点横坐标的取值范围；

（3）如图二，过点作轴的平行线交抛物线于点，该抛物线的对称轴与轴交于点，连结、，点为线段的中点，点、分别为直线和上的动点，求周长的最小值．

如图，二次函数的图象过原点，与轴的另一个交点为

（1）求该二次函数的解析式；

（2）在轴上方作轴的平行线，交二次函数图象于、两点，过、两点分别作轴的垂线，垂足分别为点、点．当矩形为正方形时，求的值；

（3）在（2）的条件下，动点从点出发沿射线以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点以相同的速度从点出发沿线段匀速运动，到达点时立即原速返回，当动点返回到点时，、两点同时停止运动，设运动时间为秒．过点向轴作垂线，交抛物线于点，交直线于点，问：以、、、四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形．若能，请求出的值；若不能，请说明理由．

如图，在直角坐标系中有，为坐标原点，，，将此三角形绕原点顺时针旋转，得到，二次函数的图象刚好经过，，三点．

（1）求二次函数的解析式及顶点的坐标；

（2）过定点的直线与二次函数图象相交于，两点．

①若，求的值；

②证明：无论为何值，恒为直角三角形；

③当直线绕着定点旋转时，外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．

如图，二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，以为边在轴上方作正方形，点是轴上一动点，连接，过点作的垂线与轴交于点．

（1）求该抛物线的函数关系表达式；

（2）当点在线段（点不与、重合）上运动至何处时，线段的长有最大值？并求出这个最大值；

（3）在第四象限的抛物线上任取一点，连接、．请问：的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．

已知抛物线与轴分别交于，两点，与轴交于点．

（1）求抛物线的表达式及顶点的坐标；

（2）点是线段上一个动点．

①如图1，设，当为何值时，？

②如图2，以，，为顶点的三角形是否与相似？若相似，求出点的坐标；若不相似，请说明理由．