如图1，$\mathit{\Delta AOB}$的三个顶点$A$、$O$、$B$分别落在抛物线$F_1:y=\frac{1}{3}{x}^2+\frac{7}{3}x$的图象上，点$A$的横坐标为$-4$，点$B$的纵坐标为$-2$．（点$A$在点$B$的左侧）

（1）求点$A$、$B$的坐标；

（2）将$\mathit{\Delta AOB}$绕点$O$逆时针旋转$90°$得到△$A^{\text{'}}O{B}^{\text{'}}$，抛物线$F_2:y=a{x}^2+\mathit{bx}+4$经过$A^{\text{'}}$、$B^{\text{'}}$两点，已知点$M$为抛物线$F_2$的对称轴上一定点，且点$A^{\text{'}}$恰好在以$\mathit{OM}$为直径的圆上，连接$\mathit{OM}$、$A^{\text{'}}M$，求△$O{A}^{\text{'}}M$的面积；

（3）如图2，延长$O{B}^{\text{'}}$交抛物线$F_2$于点$C$，连接$A^{\text{'}}C$，在坐标轴上是否存在点$D$，使得以$A$、$O$、$D$为顶点的三角形与△$O{A}^{\text{'}}C$相似．若存在，请求出点$D$的坐标；若不存在，请说明理由．