已知抛物线$y=-2x^2+(b-2)x+(c-2020)(b$，$c$为常数）．

（1）若抛物线的顶点坐标为$(1,1)$，求$b$，$c$的值；

（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求$c$的取值范围；

（3）在（1）的条件下，存在正实数$m$，$n(m<n)$，当$m⩽x⩽n$时，恰好$\frac{m}{2m+1}⩽\frac{1}{y+2}⩽\frac{n}{2n+1}$，求$m$，$n$的值．