已知抛物线yax2bxc(a≠0)过点A(1,0)，B(3,

已知抛物线 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 过点 $A (1, 0)$ ， $B (3, 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ， $OC = 3$ ．

（1）求抛物线的解析式及顶点 $D$ 的坐标；

（2）过点 $A$ 作 $AM ⊥ BC$ ，垂足为 $M$ ，求证：四边形 $ADBM$ 为正方形；

（3）点 $P$ 为抛物线在直线 $BC$ 下方图形上的一动点，当 $ΔPBC$ 面积最大时，求点 $P$ 的坐标；

（4）若点 $Q$ 为线段 $OC$ 上的一动点，问： $AQ + \frac{1}{2} QC$ 是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．

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相关试题

现有正方形ABCD和一个以O为直角顶点的三角板，移动三角板，使三角板两直角边所在直线分别与直线BC、CD交于点M、N．

（1）如图1，若点O与点A重合，则OM与ON的数量关系是；

（2）如图2，若点O在正方形的中心（即两对角线交点），则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；

（3）如图3，若点O在正方形的内部（含边界），当OM=ON时，请探究点O在移动过程中可形成什么图形？

（4）如图4，是点O在正方形外部的一种情况．当OM=ON时，请你就“点O的位置在各种情况下（含外部）移动所形成的图形”提出一个正确的结论．（不必说明）

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如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M是抛物线在x轴下方上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值；

（3）在（2）的条件下，当MN取得最大值时，在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使△PBN是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，C为 $\hat{BE}$ 的中点，过点C作直线CD⊥AE于D，连接AC、BC．

（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若AD=2， $AC = \sqrt{6}$ ，求AB的长．

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某校准备组织师生共60人，从南靖乘动车前往厦门参加夏令营活动，动车票价格如表所示：（教师按成人票价购买，学生按学生票价购买）．

若师生均购买二等座票，则共需1020元．

（1）参加活动的教师有　　人，学生有　　人；

（2）由于部分教师需提早前往做准备工作，这部分教师均购买一等座票，而后续前往的教师和学生均购买二等座票．设提早前往的教师有人，购买一、二等座票全部费用为元．

①求关于的函数关系式；

②若购买一、二等座票全部费用不多于1032元，则提早前往的教师最多只能多少人？

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如图是将一正方体货物沿坡面AB装进汽车货厢的平面示意图．已知长方体货厢的高度 $BC 为 \sqrt{5} 米$ ， $\tan A = \frac{1}{3}$ 现把图中的货物继续往前平移，当货物顶点D与C重合时，仍可把货物放平装进货厢，求BD的长．（结果保留根号）

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