已知抛物线$y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$过点$A(1,0)$，$B(3,0)$两点，与$y$轴交于点$C$，$\mathit{OC}=3$．

（1）求抛物线的解析式及顶点$D$的坐标；

（2）过点$A$作$\mathit{AM}\perp \mathit{BC}$，垂足为$M$，求证：四边形$\mathit{ADBM}$为正方形；

（3）点$P$为抛物线在直线$\mathit{BC}$下方图形上的一动点，当$\mathit{\Delta PBC}$面积最大时，求点$P$的坐标；

（4）若点$Q$为线段$\mathit{OC}$上的一动点，问：$\mathit{AQ}+\frac{1}{2}\mathit{QC}$是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．