初中数学二次函数综合题解答题

如图1，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3(a\ne 0)$ 与 $x$ 轴的交点 $A(-3,0)$ 和 $B(1,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，顶点为 $D$ ．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）连接 $\mathit{AD}$ ， $\mathit{DC}$ ， $\mathit{CB}$ ，将 $\mathit{\Delta OBC}$ 沿 $x$ 轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到△ $O^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ ，点 $O$ 、 $B$ 、 $C$ 的对应点分别为点 $O^{\text{'}}$ 、 $B^{\text{'}}$ 、 $C^{\text{'}}$ ，设平移时间为 $t$ 秒，当点 $O^{\text{'}}$ 与点 $A$ 重合时停止移动．记△ $O^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ 与四边形 $\mathit{AOCD}$ 重合部分的面积为 $S$ ，请直接写出 $S$ 与 $t$ 之间的函数关系式；

（3）如图2，过该抛物线上任意一点 $M(m,n)$ 向直线 $l:y=\frac{9}{2}$ 作垂线，垂足为 $E$ ，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点 $F$ ，使得 $\mathit{ME}-\mathit{MF}=\frac{1}{4}$ ？若存在，请求出 $F$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，抛物线 $G:y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(0<a<12)$ 过点 $A(1,c-5a)$ ， $B(x_1$ ， $3)$ ， $C(x_2$ ， $3)$ ．顶点 $D$ 不在第一象限，线段 $\mathit{BC}$ 上有一点 $E$ ，设 $\mathit{\Delta OBE}$ 的面积为 $S_1$ ， $\mathit{\Delta OCE}$ 的面积为 $S_2$ ， $S_1=S_2+\frac{3}{2}$ ．

（1）用含 $a$ 的式子表示 $b$ ；

（2）求点 $E$ 的坐标：

（3）若直线 $\mathit{DE}$ 与抛物线 $G$ 的另一个交点 $F$ 的横坐标为 $\frac{6}{a}+3$ ，求 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 在 $1<x<6$ 时的取值范围（用含 $a$ 的式子表示）．

如图，抛物线 $y=\frac{3+\sqrt{3}}{6}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $A$ ， $B$ 分别位于原点的左、右两侧， $\mathit{BO}=3\mathit{AO}=3$ ，过点 $B$ 的直线与 $y$ 轴正半轴和抛物线的交点分别为 $C$ ， $D$ ， $\mathit{BC}=\sqrt{3}\mathit{CD}$ ．

（1）求 $b$ ， $c$ 的值；

（2）求直线 $\mathit{BD}$ 的函数解析式；

（3）点 $P$ 在抛物线的对称轴上且在 $x$ 轴下方，点 $Q$ 在射线 $\mathit{BA}$ 上．当 $\mathit{\Delta ABD}$ 与 $\mathit{\Delta BPQ}$ 相似时，请直接写出所有满足条件的点 $Q$ 的坐标．

在平面直角坐标系中，正方形的四个顶点坐标分别为，，，．

（1）填空：正方形的面积为　　；当双曲线与正方形有四个交点时，的取值范围是：　　；

（2）已知抛物线顶点在边上，与边，分别相交于点，，过点的双曲线与边交于点．

①点是平面内一动点，在抛物线的运动过程中，点随运动，分别求运动过程中点在最高位置和最低位置时的坐标；

②当点在点下方，，点不与，两点重合时，求的值；

③求证：抛物线与直线的交点始终位于轴下方．

如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点．

（1）点的坐标为　　，点的坐标为　　，线段的长为　　，抛物线的解析式为　　．

（2）点是线段下方抛物线上的一个动点．

①如果在轴上存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形．求点的坐标．

②如图2，过点作交线段于点，过点作直线交于点，交轴于点，记，求关于的函数解析式；当取和时，试比较的对应函数值和的大小．

如图，在直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，点，对称轴为的抛物线过，两点，且交轴于另一点，连接．

（1）直接写出点，点，点的坐标和抛物线的解析式；

（2）已知点为第一象限内抛物线上一点，当点到直线的距离最大时，求点的坐标；

（3）抛物线上是否存在一点（点除外），使以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点且与轴的负半轴交于点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点为直线上方抛物线上的一个动点，当时，求点的坐标；

（3）已知，分别是直线和抛物线上的动点，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的点的坐标．

在平面直角坐标系中，已知抛物线和直线，点，均在直线上．

（1）若抛物线与直线有交点，求的取值范围；

（2）当，二次函数的自变量满足时，函数的最大值为，求的值；

（3）若抛物线与线段有两个不同的交点，请直接写出的取值范围．

已知抛物线和

（1）如何将抛物线平移得到抛物线？

（2）如图1，抛物线与轴正半轴交于点，直线经过点，交抛物线于另一点．请你在线段上取点，过点作直线轴交抛物线于点，连接．

①若，求点的横坐标；

②若，直接写出点的横坐标．

（3）如图2，的顶点、在抛物线上，点在点右边，两条直线、与抛物线均有唯一公共点，、均与轴不平行．若的面积为2，设、两点的横坐标分别为、，求与的数量关系．

如图1，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点，与轴交于点，．

（1）直接写出抛物线的解析式及其对称轴；

（2）如图2，连接，，设点是抛物线上位于第一象限内的一动点，且在对称轴右侧，过点作于点，交轴于点，过点作交于点，交轴于点．设线段的长为，求与的函数关系式，并注明的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若的面积为，

①求点的坐标；

②设为直线上一动点，连接，直线交直线于点，则点在运动过程中，在抛物线上是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点及其对应的点的坐标；若不存在，请说明理由．

已知抛物线经过点和，与轴交于另一点，顶点为．

（1）求抛物线的解析式，并写出点的坐标；

（2）如图，点，分别在线段，上点不与，重合），且，则能否为等腰三角形？若能，求出的长；若不能，请说明理由；

（3）若点在抛物线上，且，试确定满足条件的点的个数．

如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点，的坐标分别为，，经过，两点的抛物线与轴的一个交点的坐标为．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若的平分线交于点，交抛物线的对称轴于点，点是轴上一动点，当的值最小时，求点的坐标；

（3）在（2）的条件下，过点作的垂线交于点，点，分别为抛物线及其对称轴上的动点，是否存在这样的点，，使得以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由．

若二次函数图象的顶点在一次函数的图象上，则称为的伴随函数，如：是的伴随函数．

（1）若是的伴随函数，求直线与两坐标轴围成的三角形的面积；

（2）若函数的伴随函数与轴两个交点间的距离为4，求，的值．

已知抛物线顶点，经过点，且与直线交于，两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若在抛物线上恰好存在三点，，，满足，求的值；

（3）在，之间的抛物线弧上是否存在点满足？若存在，求点的横坐标；若不存在，请说明理由．

（坐标平面内两点，，，之间的距离

如图，已知抛物线经过点、．

（1）求抛物线的解析式，并写出顶点的坐标；

（2）若点在抛物线上，且点的横坐标为8，求四边形的面积；

（3）定点在轴上，若将抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到一条新的抛物线，点在新的抛物线上运动，求定点与动点之间距离的最小值（用含的代数式表示）