已知抛物线yax2bxc顶点(2,1)，经过点(0,3)，且

更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度较难
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已知抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 顶点 $(2, - 1)$ ，经过点 $(0, 3)$ ，且与直线 $y = x - 1$ 交于 $A$ ， $B$ 两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若在抛物线上恰好存在三点 $Q$ ， $M$ ， $N$ ，满足 $S_{ΔQAB} = S_{ΔMAB} = S_{ΔNAB} = S$ ，求 $S$ 的值；

（3）在 $A$ ， $B$ 之间的抛物线弧上是否存在点 $P$ 满足 $∠ APB = 90 °$ ？若存在，求点 $P$ 的横坐标；若不存在，请说明理由．

（坐标平面内两点 $M (x_{1}$ ， $y_{1})$ ， $N (x_{2}$ ， $y_{2})$ 之间的距离 $MN = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}})$

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图①是甘肃省博物馆的镇馆之宝 $- -$ 铜奔马，又称“马踏飞燕”，于1969年10月出土于武威市的雷台汉墓，1983年10月被国家旅游局确定为中国旅游标志．在很多旅游城市的广场上都有“马踏飞燕”雕塑．某学习小组把测量本城市广场的“马踏飞燕”雕塑（图② $)$ 最高点离地面的高度作为一次课题活动，同学们制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表：

课题	测量“马踏飞燕“雕塑最高点离地面的高度
测量示意图				如图，雕塑的最高点 $B$ 到地面的高度为 $BA$ ，在测点 $C$ 用仪器测得点 $B$ 的仰角为 $α$ ，前进一段距离到达测点 $E$ ，再用该仪器测得点 $B$ 的仰角为 $β$ ，且点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ ， $F$ 均在同一竖直平面内，点 $A$ ， $C$ ， $E$ 在同一条直线上．
测量数据	$α$ 的度数	$β$ 的度数	$CE$ 的长度		仪器 $CD (EF)$ 的高度
	$31 °$	$42 °$	5米		1.5米

请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度（结果保留一位小数）．（参考数据： $\sin 31 ° \approx 0.52$ ， $\cos 31 ° \approx 0.86$ ， $\tan 31 ° \approx 0.60$ ， $\sin 42 ° \approx 0.67$ ， $\cos 42 ° \approx 0.74$ ， $\tan 42 ° \approx 0.90)$

题型：未知
难度：未知

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如图，在 $ΔABC$ 中， $D$ 是 $BC$ 边上一点，且 $BD = BA$ ．

（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法） $:$

①作 $∠ ABC$ 的角平分线交 $AD$ 于点 $E$ ；

②作线段 $DC$ 的垂直平分线交 $DC$ 于点 $F$ ．

（2）连接 $EF$ ，直接写出线段 $EF$ 和 $AC$ 的数量关系及位置关系．

题型：未知
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解不等式组： $\{\begin{matrix} 3 x - 5 < x + 1 \\ 2 (2 x - 1) ⩾ 3 x - 4 \end{matrix}$ ，并把它的解集在数轴上表示出来．

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计算： $(2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3}) + \tan 60 ° - {(π - 2 \sqrt{3})}^{0}$ ．

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如图1，抛物线 $y = a x^{2} + bx + 3 (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴的交点 $A (- 3, 0)$ 和 $B (1, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，顶点为 $D$ ．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）连接 $AD$ ， $DC$ ， $CB$ ，将 $ΔOBC$ 沿 $x$ 轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到△ $O^{'} B^{'} C^{'}$ ，点 $O$ 、 $B$ 、 $C$ 的对应点分别为点 $O^{'}$ 、 $B^{'}$ 、 $C^{'}$ ，设平移时间为 $t$ 秒，当点 $O^{'}$ 与点 $A$ 重合时停止移动．记△ $O^{'} B^{'} C^{'}$ 与四边形 $AOCD$ 重合部分的面积为 $S$ ，请直接写出 $S$ 与 $t$ 之间的函数关系式；

（3）如图2，过该抛物线上任意一点 $M (m, n)$ 向直线 $l : y = \frac{9}{2}$ 作垂线，垂足为 $E$ ，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点 $F$ ，使得 $ME - MF = \frac{1}{4}$ ？若存在，请求出 $F$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

题型：未知
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