如图，已知抛物线$y=\frac{1}{3}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过点$A(-1,0)$、$B(5,0)$．

（1）求抛物线的解析式，并写出顶点$M$的坐标；

（2）若点$C$在抛物线上，且点$C$的横坐标为8，求四边形$\mathit{AMBC}$的面积；

（3）定点$D(0,m)$在$y$轴上，若将抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到一条新的抛物线，点$P$在新的抛物线上运动，求定点$D$与动点$P$之间距离的最小值$d$（用含$m$的代数式表示）