初中数学二次函数综合题解答题

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴的负半轴交于点，已知抛物线的对称轴为直线，、两点的坐标分别为，，．点为直线下方的抛物线上的一个动点（不与、两点重合）．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）如图1，连接、得到，问是否存在着这样的点，使得的面积最大？如果存在，求出面积的最大值和此时点的坐标；如果不存在，请说明理由．

（3）如图2，连接交线段于点，点为线段的中点，过点作于点，于点，连接、，则在点的运动过程中，的大小是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．

如图1，已知抛物线过点，．

（1）求抛物线的解析式及其顶点的坐标；

（2）设点是轴上一点，当时，求点的坐标；

（3）如图2．抛物线与轴交于点，点是该抛物线上位于第二象限的点，线段交于点，交轴于点，和的面积分别为、，求的最大值．

如图，抛物线经过点，与轴相交于，两点．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点在抛物线的对称轴上，且位于轴的上方，将沿直线翻折得到△，若点恰好落在抛物线的对称轴上，求点和点的坐标；

（3）设是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点在抛物线的对称轴上，当为等边三角形时，求直线的函数表达式．

如图，抛物线经过轴上的点和点及轴上的点，经过、两点的直线为．

①求抛物线的解析式．

②点从出发，在线段上以每秒1个单位的速度向运动，同时点从出发，在线段上以每秒2个单位的速度向运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为秒，求为何值时，的面积最大并求出最大值．

③过点作于点，过抛物线上一动点（不与点、重合）作直线的平行线交直线于点．若点、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的横坐标．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，顶点为．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）设点为抛物线的对称轴上的一点，点在该抛物线上，当四边

形为菱形时，求出点的坐标；

（3）在（2）的条件下，抛物线在第一象限的图象上是否存在一点，使得点到直线的距离与其到轴的距离相等？若存在，求出直线的函数解析式；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为4，边，分别在轴，轴的正半轴上，把正方形的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点．点为抛物线的顶点．

（1）当时，求该抛物线下方（包括边界）的好点个数．

（2）当时，求该抛物线上的好点坐标．

（3）若点在正方形内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点，求的取值范围．

如图1，已知在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，分别在轴和轴的正半轴上，连结，，，是的中点．

（1）求的长和点的坐标；

（2）如图2，是线段上的点，，点是线段上的一个动点，经过，，三点的抛物线交轴的正半轴于点，连结交于点．

①将沿所在的直线翻折，若点恰好落在上，求此时的长和点的坐标；

②以线段为边，在所在直线的右上方作等边，当动点从点运动到点时，点也随之运动，请直接写出点运动路径的长．

设二次函数，是实数）．

（1）甲求得当时，；当时，；乙求得当时，．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．

（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含，的代数式表示）．

（3）已知二次函数的图象经过和两点，是实数），当时，求证：．

在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，顶点为，对称轴与轴交于点．

（1）如图1，连接，．若点为直线上方抛物线上一动点，过点作轴交于点，作于点，过点作交轴于点．点，分别在对称轴和轴上运动，连接，．当的周长最大时，求的最小值及点的坐标．

（2）如图2，将抛物线沿射线方向平移，当抛物线经过原点时停止平移，此时抛物线顶点记为，为直线上一点，连接点，，，△能否构成等腰三角形？若能，直接写出满足条件的点的坐标；若不能，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），交轴于点，点为抛物线的顶点，对称轴与轴交于点．

（1）连结，点是线段上一动点（点不与端点，重合），过点作，交抛物线于点（点在对称轴的右侧），过点作轴，垂足为，交于点，点是线段上一动点，当取得最大值时，求的最小值；

（2）在（1）中，当取得最大值，取得最小值时，把点向上平移个单位得到点，连结，把绕点顺时针旋转一定的角度，得到△，其中边交坐标轴于点．在旋转过程中，是否存在一点，使得？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

抛物线与轴交于点，（点在点的左边），与轴交于点，点是该抛物线的顶点．

（1）如图1，连接，求线段的长；

（2）如图2，点是直线上方抛物线上一点，轴于点，与线段交于点；将线段沿轴左右平移，线段的对应线段是，当的值最大时，求四边形周长的最小值，并求出对应的点的坐标；

（3）如图3，点是线段的中点，连接，将沿直线翻折至△的位置，再将△绕点旋转一周，在旋转过程中，点，的对应点分别是点，，直线分别与直线，轴交于点，．那么，在△的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的线段的长；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，且横坐标为1，点与点关于抛物线的对称轴对称，直线与轴交于点，点为抛物线的顶点，点的坐标为．

（1）求线段的长；

（2）点为线段上方抛物线上的任意一点，过点作的垂线交于点，点为轴上一点，当的面积最大时，求的最小值；

（3）在（2）中，取得最小值时，将绕点顺时针旋转后得到△，过点作的垂线与直线交于点，点为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴与轴交于点，点在抛物线上．

（1）求直线的解析式；

（2）点为直线下方抛物线上的一点，连接，．当的面积最大时，连接，，点是线段的中点，点是上的一点，点是上的一点，求的最小值；

（3）点是线段的中点，将抛物线沿轴正方向平移得到新抛物线，经过点，的顶点为点．在新抛物线的对称轴上，是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴与轴交于点，点在抛物线上．

（1）求直线的解析式；

（2）点为直线下方抛物线上的一点，连接，．当的面积最大时，连接，，点是线段的中点，点是上的一点，点是上的一点，求的最小值；

（3）点是线段的中点，将抛物线沿轴正方向平移得到新抛物线，经过点，的顶点为点．在新抛物线的对称轴上，是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，二次函数 $y=\frac{1}{2}{x}^2-2x+1$ 的图象与一次函数 $y=\mathit{kx}+b(k\ne 0)$ 的图象交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $A$ 的坐标为 $(0,1)$ ，点 $B$ 在第一象限内，点 $C$ 是二次函数图象的顶点，点 $M$ 是一次函数 $y=\mathit{kx}+b(k\ne 0)$ 的图象与 $x$ 轴的交点，过点 $B$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $N$ ，且 $S_{\mathit{\Delta AMO}}:S_{\mathit{四边形}\mathit{AONB}}=1:48$ ．

（1）求直线 $\mathit{AB}$ 和直线 $\mathit{BC}$ 的解析式；

（2）点 $P$ 是线段 $\mathit{AB}$ 上一点，点 $D$ 是线段 $\mathit{BC}$ 上一点， $\mathit{PD}//x$ 轴，射线 $\mathit{PD}$ 与抛物线交于点 $G$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PE}\perp x$ 轴于点 $E$ ， $\mathit{PF}\perp \mathit{BC}$ 于点 $F$ ．当 $\mathit{PF}$ 与 $\mathit{PE}$ 的乘积最大时，在线段 $\mathit{AB}$ 上找一点 $H$ （不与点 $A$ ，点 $B$ 重合），使 $\mathit{GH}+\frac{\sqrt{2}}{2}\mathit{BH}$ 的值最小，求点 $H$ 的坐标和 $\mathit{GH}+\frac{\sqrt{2}}{2}\mathit{BH}$ 的最小值；

（3）如图2，直线 $\mathit{AB}$ 上有一点 $K(3,4)$ ，将二次函数 $y=\frac{1}{2}{x}^2-2x+1$ 沿直线 $\mathit{BC}$ 平移，平移的距离是 $t(t⩾0)$ ，平移后抛物线上点 $A$ ，点 $C$ 的对应点分别为点 $A\text{'}$ ，点 $C\text{'}$ ；当△ $A\text{'}C\text{'}K$ 是直角三角形时，求 $t$ 的值．